Является ли функция (1/x)*cos (1/x) бесконечно большой при x

Sumasshedshiy_Reyndzher

44

Для того чтобы определить, является ли функция \(\frac{1}{x} \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\) бесконечно большой при \(x\), мы должны проанализировать поведение функции в окрестности точки \(x = 0\).

Давайте рассмотрим произвольное значение \(x\) из этой окрестности, так что \(x \neq 0\). В таком случае, функция определена и ограничена, так как \(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) ограничена на всей числовой прямой. Аналитически можно показать, что \(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) принимает значения от -1 до 1 вне зависимости от значения \(x\).

Однако, когда \(x\) стремится к нулю, \(\frac{1}{x}\) возрастает без ограничений. То есть, значение функции увеличивается по мере приближения \(x\) к нулю. Можно заметить, что значение \(\frac{1}{x}\) увеличивается по модулю гораздо быстрее, чем значение \(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) уменьшается.

В результате, функция \(\frac{1}{x} \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\) не является ограниченной около \(x = 0\) и растет неограниченно, когда \(x\) стремится к нулю. Это означает, что функция является бесконечно большой при \(x\).

Мы также можем использовать лимиты для подтверждения этого результата. Мы можем записать предел функции по мере \(x\) стремится к нулю:

\[\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\]

Так как \(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\) ограничена, остается только рассмотреть лимит \(\frac{1}{x}\) при \(x\) стремится к нулю:
\[\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\]

Этот лимит неопределен и равен бесконечности. Таким образом, предел исходной функции равен бесконечности, что подтверждает, что функция \(f(x) = \frac{1}{x} \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\) является бесконечно большой при \(x\).