Является ли функция F(x)=7sinx+10x^4 первообразной для какой-либо функции?

Эмилия_5460

49

Для того чтобы определить, является ли функция \(F(x) = 7\sin(x) + 10x^4\) первообразной для какой-либо функции, мы должны вычислить её производную и проверить, равна ли она исходной функции \(F(x)\).

Итак, начнем с вычисления производной функции \(F(x)\). Для этого мы можем применить правило дифференцирования для суммы и произведения функций.

Производная суммы получается, как сумма производных:

\[(f(x) + g(x))" = f"(x) + g"(x).\]

Производная синуса равна косинусу:
\[\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x).\]

Производная \(x^4\) можно найти с помощью обобщенного правила степенной функции:
\[\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1},\]
где \(n\) - степень.

Применяя правила дифференцирования, получим:

\[\begin{aligned}
F"(x) &= \frac{d}{dx} (7\sin(x) + 10x^4) \\
&= \frac{d}{dx}(7\sin(x)) + \frac{d}{dx}(10x^4) \\
&= 7\frac{d}{dx}(\sin(x)) + 10\frac{d}{dx}(x^4) \\
&= 7\cos(x) + 10(4x^3) \\
&= 7\cos(x) + 40x^3.
\end{aligned}\]

Теперь мы должны сравнить полученную производную \(F"(x)\) с исходной функцией \(F(x)\). Если \(F"(x)\) совпадает с \(F(x)\), то функция \(F(x)\) является первообразной для себя.

В данном случае, \(F"(x) = 7\cos(x) + 40x^3 \neq 7\sin(x) + 10x^4 = F(x)\).

Таким образом, функция \(F(x) = 7\sin(x) + 10x^4\) не является первообразной для какой-либо функции.