Являются ли события M «на первой кости выпало 2 или 3 очка» и N «сумма выпавших очков не больше семи» независимыми

Yaponec_4032

12

Для того чтобы определить, являются ли события M "на первой кости выпало 2 или 3 очка" и N "сумма выпавших очков не больше семи" независимыми при двукратном броске кости, давайте рассмотрим возможные исходы.

Событие M - "на первой кости выпало 2 или 3 очка". Возможные исходы для этого события: {2, 3}.

Событие N - "сумма выпавших очков не больше семи". Возможные исходы для этого события: {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации двукратного броска кости и определим, попадают ли эти комбинации в оба события M и N.

Возможные комбинации для двукратного броска кости:
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Теперь проверим каждую комбинацию и определим, входит ли она в оба события M и N.

Комбинации, которые удовлетворяют обоим событиям (M и N), обозначим знаком "+", а те, которые не удовлетворяют хотя бы одному из событий - знаком "-".

\[
\begin{align*}
(1, 1) & : - \\
(1, 2) & : - \\
(1, 3) & : + \\
(1, 4) & : + \\
(1, 5) & : + \\
(1, 6) & : + \\
(2, 1) & : - \\
(2, 2) & : + \\
(2, 3) & : + \\
(2, 4) & : + \\
(2, 5) & : + \\
(2, 6) & : + \\
(3, 1) & : + \\
(3, 2) & : + \\
(3, 3) & : + \\
(3, 4) & : + \\
(3, 5) & : + \\
(3, 6) & : + \\
(4, 1) & : + \\
(4, 2) & : + \\
(4, 3) & : + \\
(4, 4) & : + \\
(4, 5) & : + \\
(4, 6) & : + \\
(5, 1) & : + \\
(5, 2) & : + \\
(5, 3) & : + \\
(5, 4) & : + \\
(5, 5) & : + \\
(5, 6) & : + \\
(6, 1) & : + \\
(6, 2) & : + \\
(6, 3) & : + \\
(6, 4) & : + \\
(6, 5) & : + \\
(6, 6) & : + \\
\end{align*}
\]

Из приведенной таблицы видно, что комбинации (1, 2), (2, 1), (2, 2) не входят ни в событие M ("на первой кости выпало 2 или 3 очка"), ни в событие N ("сумма выпавших очков не больше семи").

Таким образом, итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{align*}
(1, 1) & : - \\
(1, 2) & : - \\
(1, 3) & : + \\
(1, 4) & : + \\
(1, 5) & : + \\
(1, 6) & : + \\
(2, 1) & : - \\
(2, 2) & : - \\
(2, 3) & : + \\
(2, 4) & : + \\
(2, 5) & : + \\
(2, 6) & : + \\
(3, 1) & : + \\
(3, 2) & : + \\
(3, 3) & : + \\
(3, 4) & : + \\
(3, 5) & : + \\
(3, 6) & : + \\
(4, 1) & : + \\
(4, 2) & : + \\
(4, 3) & : + \\
(4, 4) & : + \\
(4, 5) & : + \\
(4, 6) & : + \\
(5, 1) & : + \\
(5, 2) & : + \\
(5, 3) & : + \\
(5, 4) & : + \\
(5, 5) & : + \\
(5, 6) & : + \\
(6, 1) & : + \\
(6, 2) & : + \\
(6, 3) & : + \\
(6, 4) & : + \\
(6, 5) & : + \\
(6, 6) & : + \\
\end{align*}
\]

При анализе таблицы видно, что совместное возникновение обоих событий M и N не зависит от друг друга, так как комбинации, входящие в событие M, и комбинации, входящие в событие N, не изменяются в зависимости друг от друга.

Таким образом, события M "на первой кости выпало 2 или 3 очка" и N "сумма выпавших очков не больше семи" являются независимыми при двукратном броске кости