За 32 суток количество атомов этого химического элемента уменьшилось в 4 раза. Найдите, сколько времени требуется

Valera

28

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу экспоненциального убывания, которая описывает зависимость количества атомов от времени:

\[N = N_0 \cdot e^{-\lambda t},\]

где:
- \(N\) - текущее количество атомов элемента,
- \(N_0\) - начальное количество атомов элемента,
- \(\lambda\) - константа распада элемента,
- \(t\) - время.

Мы знаем, что количество атомов уменьшилось в 4 раза за 32 суток. Это означает, что \(N = \frac{1}{4} N_0\), и \(t = 32\). Подставив эти значения в формулу, мы можем найти \(\lambda\):

\[\frac{1}{4} N_0 = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 32}.\]

Для удобства расчетов можно сократить общий множитель \(N_0\):

\[\frac{1}{4} = e^{-32\lambda}.\]

Далее, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[\ln\left(\frac{1}{4}\right) = \ln\left(e^{-32\lambda}\right).\]

Используя свойство натурального логарифма \(\ln(e^a) = a\), получаем:

\[\ln\left(\frac{1}{4}\right) = -32\lambda.\]

Теперь можем найти \(\lambda\), разделив левую и правую части уравнения на -32:

\[\lambda = \frac{\ln\left(\frac{1}{4}\right)}{-32}.\]

Поскольку полураспад соответствует уменьшению количества атомов в 2 раза, мы можем использовать следующее соотношение:

\[\frac{1}{2} = e^{-\lambda \cdot t_{1/2}}.\]

Где \(t_{1/2}\) - время, за которое количество атомов уменьшается в 2 раза. Подставив полученное значение \(\lambda\) в формулу, мы можем найти \(t_{1/2}\):

\[\frac{1}{2} = e^{\frac{\ln\left(\frac{1}{4}\right)}{-32} \cdot t_{1/2}}.\]

Используя свойство натурального логарифма \(\ln(e^a) = a\), можно записать:

\[\frac{1}{2} = e^{-\frac{t_{1/2}}{32} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right)}.\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{t_{1/2}}{32} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right).\]

Теперь можно найти \(t_{1/2}\), разделив левую и правую части уравнения на \(-\frac{1}{32} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right)\):

\[t_{1/2} = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{32} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right)}.\]

Подставив числовые значения и выполним расчет:

\[t_{1/2} = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{32} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right)} \approx 21.9.\]

Таким образом, для полураспада этого элемента требуется примерно 21.9 суток.