За первые t секунды, какой будет величина заряда по цепи, если переменный ток задан уравнением I = 6t - t² (А)?

Vechnyy_Son

47

Хорошо! Для решения этой задачи нам необходимо найти величину заряда по цепи через первые \(t\) секунд.

Заряд \(Q\) определяется как интеграл от тока \(I\) по времени \(t\).

\[ Q = \int I \, dt \]

Для данной задачи у нас задано уравнение для тока \(I\): \(I = 6t - t^2\).

Теперь, чтобы найти интеграл \(Q\), возьмем неопределенный интеграл от \(I\).

\[ Q = \int (6t - t^2) \, dt \]

Определим интегралы каждого слагаемого по отдельности:

\[ Q = \int 6t \, dt - \int t^2 \, dt \]

Так как мы интегрируем по времени \(t\), то константа не будет влиять на результат и поэтому не включается в решение.

Вычислим интегралы по отдельности:

Интеграл от \(6t\) равен:

\[ \int 6t \, dt = 3t^2 + C_1 \]

Интеграл от \(t^2\) равен:

\[ \int t^2 \, dt = \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования.

Теперь объединим полученные результаты:

\[ Q = 3t^2 + C_1 - \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]

Поскольку мы ищем величину заряда в определенные момент времени (\(t\) секунд), нам необходимо задать начальные условия или пределы интегрирования.

Предположим, что изначально заряд \(Q\) в цепи равен нулю (\(Q = 0\)) в момент времени \(t = 0\).

Подставим эти значения:

\[ 0 = 3 \cdot 0^2 + C_1 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 + C_2 \]

\[ 0 = C_1 + C_2 \]

Теперь подставим значения констант \(C_1\) и \(C_2\) в выражение для \(Q\):

\[ Q = 3t^2 + C_1 - \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]

\[ Q = 3t^2 - \frac{1}{3}t^3 \]

Таким образом, величина заряда по цепи через первые \(t\) секунд равна \(Q = 3t^2 - \frac{1}{3}t^3\).