За первые t секунды, какой будет величина заряда по цепи, если переменный ток задан уравнением I = 6t - t² (А)?
За первые t секунды, какой будет величина заряда по цепи, если переменный ток задан уравнением I = 6t - t² (А)?
Vechnyy_Son 47
Хорошо! Для решения этой задачи нам необходимо найти величину заряда по цепи через первые \(t\) секунд.Заряд \(Q\) определяется как интеграл от тока \(I\) по времени \(t\).
\[ Q = \int I \, dt \]
Для данной задачи у нас задано уравнение для тока \(I\): \(I = 6t - t^2\).
Теперь, чтобы найти интеграл \(Q\), возьмем неопределенный интеграл от \(I\).
\[ Q = \int (6t - t^2) \, dt \]
Определим интегралы каждого слагаемого по отдельности:
\[ Q = \int 6t \, dt - \int t^2 \, dt \]
Так как мы интегрируем по времени \(t\), то константа не будет влиять на результат и поэтому не включается в решение.
Вычислим интегралы по отдельности:
Интеграл от \(6t\) равен:
\[ \int 6t \, dt = 3t^2 + C_1 \]
Интеграл от \(t^2\) равен:
\[ \int t^2 \, dt = \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]
Где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования.
Теперь объединим полученные результаты:
\[ Q = 3t^2 + C_1 - \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]
Поскольку мы ищем величину заряда в определенные момент времени (\(t\) секунд), нам необходимо задать начальные условия или пределы интегрирования.
Предположим, что изначально заряд \(Q\) в цепи равен нулю (\(Q = 0\)) в момент времени \(t = 0\).
Подставим эти значения:
\[ 0 = 3 \cdot 0^2 + C_1 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 + C_2 \]
\[ 0 = C_1 + C_2 \]
Теперь подставим значения констант \(C_1\) и \(C_2\) в выражение для \(Q\):
\[ Q = 3t^2 + C_1 - \frac{1}{3}t^3 + C_2 \]
\[ Q = 3t^2 - \frac{1}{3}t^3 \]
Таким образом, величина заряда по цепи через первые \(t\) секунд равна \(Q = 3t^2 - \frac{1}{3}t^3\).