За скільки годин може кожен насос самостійно наповнити басейн, якщо один насос може наповнити басейн на 24 години

Жучка

51

Давайте решим эту задачу пошагово:

Пусть первый насос может заполнить бассейн за \(x\) часов, а второй насос - за \(x - 24\) часа (так как первый насос заполняет бассейн на 24 часа быстрее).

За 20 часов работы двух насосов, бассейн заполнен на \(\frac{2}{3}\) от его общего объема. Это означает, что два насоса за 20 часов заполнили \(\frac{2}{3}\) бассейна.

Теперь найдем сколько бассейна заполнит каждый насос за 1 час работы.

Первый насос заполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна за 1 час работы. Второй насос заполняет \(\frac{1}{x-24}\) бассейна за 1 час работы.

Мы знаем, что первый насос работал 8 часов до включения второго насоса. Это означает, что за 8 часов первый насос заполнил \(\frac{8}{x}\) бассейна.

Когда второй насос был включен, оба насоса работали вместе еще 20 часов. За это время они заполнили \(\frac{2}{3}\) бассейна.

Теперь мы можем записать уравнение, основываясь на информации выше:

\(\frac{8}{x} + \frac{20}{x} + \frac{20}{x-24} = \frac{2}{3}\)

Решить это уравнение можно, умножив все его члены на знаменатель 3x(x-24), чтобы избавиться от дробей:

\(8(x-24) + 20x + 20x = 2 \cdot 3x(x-24)\)

Раскроем скобки:

\(8x-192 + 20x + 20x = 6x^2 - 6 \cdot 24x\)

Сгруппируем члены:

\(48x - 192 = 6x^2 - 6 \cdot 24x\)

Теперь приведём подобные члены на одну сторону уравнения:

\(6x^2 - 6 \cdot 24x - 48x + 192 = 0\)

Раскроем скобки:

\(6x^2 - 6 \cdot 24x - 48x + 192 = 0\)

Воспользуемся свойством факторизации:

\(6x(x - 24) - 48(x - 4) = 0\)

Теперь разделим уравнение на 6:

\(x(x - 24) - 8(x - 4) = 0\)

Далее разложим второе слагаемое:

\(x(x - 24) - 8x + 32 = 0\)

Раскроем скобки:

\(x^2 - 24x - 8x + 32 = 0\)

Сгруппируем члены:

\(x^2 - 32x + 32 = 0\)

Данное квадратное уравнение не решается целыми числами. Для его решения нужно использовать квадратную формулу:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Для нашего уравнения a=1, b=-32 и c=32:

\(x = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4\cdot 1 \cdot 32}}{2\cdot 1}\)

Упростим выражение:

\(x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 128}}{2}\)

\(x = \frac{32 \pm \sqrt{896}}{2}\)

\(x = \frac{32 \pm 16\sqrt{14}}{2}\)

Теперь найдем возможные значения \(x\):

\(x_1 = \frac{32 + 16\sqrt{14}}{2} = 16 + 8\sqrt{14}\)

\(x_2 = \frac{32 - 16\sqrt{14}}{2} = 16 - 8\sqrt{14}\)

Таким образом, каждый насос может самостоятельно наполнить бассейн за \(16 + 8\sqrt{14}\) часов или \(16 - 8\sqrt{14}\) часов.

Обратите внимание, что оба значения являются положительными, так как время не может быть отрицательным.

Это полный и подробный ответ на задачу.