Найдите решение системы уравнений {х + 3у / х - 3у - 4х - 3у / х + 3у = 3 34у^2 - х^2

Lisichka123

25

Чтобы найти решение системы уравнений \(\begin{cases} \frac{x + 3y}{x - 3y} - \frac{4x - 3y}{x + 3y} = 3 \\ 34y^2 - x^2 = 0 \end{cases}\), мы можем разбить задачу на две части, решив каждое уравнение отдельно.

1. Решение первого уравнения:
\(\frac{x + 3y}{x - 3y} - \frac{4x - 3y}{x + 3y} = 3\)

Для упрощения этого уравнения давайте найдем общий знаменатель дробей:
\(\frac{(x + 3y)(x + 3y) - (4x - 3y)(x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)} = 3\)

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
\(\frac{x^2 + 6xy + 9y^2 - (4x^2 - 12xy + 9y^2)}{(x - 3y)(x + 3y)} = 3\)

Получаем:
\(\frac{x^2 + 6xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = 3\)

Упрощаем:
\(\frac{-3x^2 + 18xy}{(x - 3y)(x + 3y)} = 3\)

Теперь умножим оба выражения на \((x - 3y)(x + 3y)\):

\(-3x^2 + 18xy = 3(x - 3y)(x + 3y)\)

\(-3x^2 + 18xy = 3(x^2 - 9y^2)\)

\(-3x^2 + 18xy = 3x^2 - 27y^2\)

Теперь сгруппируем похожие слагаемые и приведем уравнение к квадратному виду:
\(6x^2 - 18xy - 27y^2 = 0\)

Раскроем скобки:
\(6x^2 - 18xy - 27y^2 = 0\)

Поделим оба члена на 3:
\(2x^2 - 6xy - 9y^2 = 0\)

Разделим все члены уравнения на 2:
\(x^2 - 3xy - \frac{9y^2}{2} = 0\)

Таким образом, первое уравнение системы имеет вид:
\(x^2 - 3xy - \frac{9y^2}{2} = 0\)

2. Решение второго уравнения:
\(34y^2 - x^2 = 0\)

Мы можем привести это уравнение к квадратному виду, поменяв местами члены:
\(-x^2 + 34y^2 = 0\)

Разделим все члены на -1:
\(x^2 - 34y^2 = 0\)

Теперь у нас есть второе уравнение системы:
\(x^2 - 34y^2 = 0\)

Итак, система уравнений состоит из двух уравнений:
\(\begin{cases} x^2 - 3xy - \frac{9y^2}{2} = 0 \\ x^2 - 34y^2 = 0 \end{cases}\)

Чтобы решить эту систему, мы можем воспользоваться методом подстановки. Разрешим первое уравнение относительно \(x\):
\(x^2 = 3xy + \frac{9y^2}{2}\)
\(x = \sqrt{3xy + \frac{9y^2}{2}}\)

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:
\(\left(\sqrt{3xy + \frac{9y^2}{2}}\right)^2 - 34y^2 = 0\)
\(3xy + \frac{9y^2}{2} - 34y^2 = 0\)
\(3xy - \frac{25y^2}{2} = 0\)
\(6xy - 25y^2 = 0\)

Выразим \(x\) из этого уравнения:
\(x = \frac{25y^2}{6y}\)
\(x = \frac{25y}{6}\)

Таким образом, мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\(x = \frac{25y}{6}\)
\(y = y\)

Получается, что любое значение \(y\) будет удовлетворять системе уравнений. Тогда мы можем записать общее решение в параметрической форме:
\(x = \frac{25y}{6}\), где \(y\) - произвольное значение.

Ответ: Решение системы уравнений \(\begin{cases} \frac{x + 3y}{x - 3y} - \frac{4x - 3y}{x + 3y} = 3 \\ 34y^2 - x^2 = 0 \end{cases}\) задается параметрической формулой \(x = \frac{25y}{6}\), где \(y\) - произвольное значение.