За яких значень у числа 2у-3, у+3, у-3 утворюють геометричну прогресію? Знайти ці числа

Yagodka

45

Для того чтобы определить при каких значениях переменной \(у\) числа \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\) образуют геометрическую прогрессию, нам необходимо проверить, выполняется ли условие данного типа прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

У нас есть 3 числа: \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\). Проверим, выполняется ли для них условие геометрической прогрессии.

Для этого необходимо, чтобы отношения соседних элементов были равны. Выразим эти отношения:

\[\frac{{у+3}}{{2у-3}}\] и \[\frac{{у-3}}{{у+3}}\]

Запишем условие равенства отношений:

\[\frac{{у+3}}{{2у-3}} = \frac{{у-3}}{{у+3}}\]

Для начала упростим это уравнение, убрав дроби:

\[(у+3)(у+3) = (2у-3)(у-3)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[у^2 + 6у + 9 = 2у^2 - 9у - 3у + 9\]

\[у^2 + 6у + 9 = 2у^2 - 12у + 9\]

\[у^2 + 6у + 9 - 2у^2 + 12у - 9 = 0\]

\[у^2 - у^2 + 6у + 12у = 0\]

\[18у = 0\]

Теперь решим это уравнение и найдем значения переменной \(у\):

\[у = \frac{0}{18}\]

Ответ: значение переменной \(у\) может быть любым, так как при любом \(у\) числа \(2у-3\), \(у+3\) и \(у-3\) образуют геометрическую прогрессию.