Задача 31. Простофиксируйте выражение и вычислите его значение при следующих значениях переменных: а) (a - 2)2

Yak

69

Конечно! Давайте начнем с примера задачи 31. Для каждого пункта задачи посчитаем значение выражения при заданных значениях переменных.

а) Для начала, заменим переменную a на 20 в выражении и вычислим:
\[
\begin{align*}
&(a - 2)^2 + (a - 1)^2 + a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 \\
&= (20 - 2)^2 + (20 - 1)^2 + 20^2 + (20 + 1)^2 + (20 + 2)^2 \\
&= 18^2 + 19^2 + 20^2 + 21^2 + 22^2 \\
&= 324 + 361 + 400 + 441 + 484 \\
&= 2010.
\end{align*}
\]

Таким образом, значение выражения при a = 20 равно 2010.

б) Точно так же, подставим b = -0.9 в выражение и выполним вычисления:
\[
\begin{align*}
&(3b - 5)(3b + 5) + (b - 5)^2 \\
&= (3 \cdot (-0.9) - 5)(3 \cdot (-0.9) + 5) + (-0.9 - 5)^2 \\
&= (-2.7 - 5)(-2.7 + 5) + (-5.9)^2 \\
&= (-7.7)(2.3) + 34.81 \\
&= -17.71 + 34.81 \\
&= 17.1.
\end{align*}
\]

Значение выражения при b = -0.9 равно 17.1.

в) Теперь заменим v на 1 целая 2/3 и произведем вычисления:
\[
\begin{align*}
&(v + 15)^2 - (v - 15)^2 \\
&= (1\frac{2}{3} + 15)^2 - (1\frac{2}{3} - 15)^2 \\
&= (16\frac{2}{3})^2 - (-13\frac{1}{3})^2 \\
&= (16\frac{2}{3})^2 - (13\frac{1}{3})^2 \\
&= (16 + \frac{2}{3})^2 - (13 + \frac{1}{3})^2 \\
&= (16)^2 + 2(16)(\frac{2}{3}) + (\frac{2}{3})^2 - (13)^2 - 2(13)(\frac{1}{3}) - (\frac{1}{3})^2 \\
&= 256 + \frac{64}{3} + \frac{4}{9} - 169 - \frac{26}{3} - \frac{1}{9} \\
&= 87\frac{13}{9}.
\end{align*}
\]

Таким образом, значение выражения при v = 1 целая 2/3 равно 87\(\frac{13}{9}\).

г) Подставим g = 0.5 и выполним вычисления:
\[
\begin{align*}
&(g - 8)^2 + (3g + 4)^2 \\
&= (0.5 - 8)^2 + (3 \cdot 0.5 + 4)^2 \\
&= (-7.5)^2 + 5.5^2 \\
&= 56.25 + 30.25 \\
&= 86.5.
\end{align*}
\]

Значение выражения при g = 0.5 равно 86.5.

д) Подставим x = 2.5 и y = -2 в выражение и произведем вычисления:
\[
\begin{align*}
&(3x - 7y)(3z + 7y) - (7x + 3y)(7x - 3y) \\
&= (3 \cdot 2.5 - 7 \cdot (-2))(3z + 7 \cdot (-2)) - (7 \cdot 2.5 + 3 \cdot (-2))(7 \cdot 2.5 - 3 \cdot (-2)) \\
&= (7.5 + 14)(3z - 14) - (17.5 - 6)(17.5 + 6) \\
&= 21.5(3z - 14) - 11.5(23.5) \\
&= 64.5z - 301.5 - 267.25 \\
&= 64.5z - 568.75.
\end{align*}
\]

Таким образом, значение выражения при x = 2.5 и y = -2 равно 64.5z - 568.75.

е) Подставим a = -\frac{1}{3} и b = 9 в выражение и выполним вычисления:
\[
\begin{align*}
&(a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 \\
&= \left(-\frac{1}{3} + 9\right)^3 - \left(-\frac{1}{3} - 9\right)^3 - 2(9)^3 \\
&= \left(\frac{26}{3}\right)^3 - \left(-\frac{28}{3}\right)^3 - 2(729) \\
&= \frac{17576}{27} - \frac{-21952}{27} - 1458 \\
&= \frac{39552}{27} - 1458 \\
&= \frac{38094}{27}.
\end{align*}
\]

Значение выражения при a = -\frac{1}{3} и b = 9 равно \(\frac{38094}{27}\).

ж) Заменим x на -\frac{1}{2} и выполняем вычисления:
\[
\begin{align*}
&(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) \\
&= (-\frac{1}{2} - 2)(-\frac{1}{2} + 2)\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4)\left(-\frac{1}{2}\right)^4 + 16) \\
&= (-\frac{5}{2})(\frac{3}{2})\frac{1}{4} + 4)\frac{1}{16} + 16) \\
&= (-\frac{15}{4})(\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} + 16) \\
&= (-\frac{15}{16}) + \frac{1}{4} + \frac{64}{4}) \\
&= (-\frac{15}{16}) + \frac{65}{4}) \\
&= -\frac{15}{16} + \frac{260}{16}) \\
&= \frac{245}{16}.
\end{align*}
\]

Таким образом, значение выражения при x = -\frac{1}{2} равно \(\frac{245}{16}\).

з) Подставим a = \frac{1}{3} и b = 3 в выражение и выполним вычисления:
\[
\begin{align*}
&\left[3, [91] (a^2 - 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)\right] \\
&= \left[3, [91] \left(\frac{1}{3}^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 + 3^2\right)\left(\frac{1}{3}^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 + 3^2\right)\right] \\
&= \left[3, [91] \left(\frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 9\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 9\right)\right] \\
&= \left[3, [91] \left(\frac{1}{9} - \frac{6}{9} + 9\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{6}{9} + 9\right)\right] \\
&= \left[3, [91] \left(\frac{-5}{9} + 9\right)\left(\frac{7}{9} + 9\right)\right] \\
&= \left[3, [91] \left(\frac{76}{9}\right)\left(\frac{72}{9}\right)\right] \\
&= 76 \times 72 \\
&= 5472.
\end{align*}
\]

Значение выражения при a = \frac{1}{3} и b = 3 равно 5472.

Переходим ко второй задаче.

л) Разложим на множители выражение 64 + z^3. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\). Применим эту формулу:
\[
\begin{align*}
64 + z^3 &= (4)^3 + z^3 \\
&= (4 + z)(4^2 - 4 \cdot z + z^2) \\
&= (4 + z)(16 - 4z + z^2).
\end{align*}
\]

Таким образом, выражение 64 + z^3 разлагается на множители как (4 + z)(16 - 4z + z^2).

м) Теперь разложим на множители выражение 8a^3. В данном случае можно применить формулу куба суммы и получить следующее:
\[
\begin{align*}
8a^3 &= (2a)^3 \\
&= (2a)(2a)^2 \\
&= (2a)(4a^2) \\
&= 8a \cdot a \cdot 4 \cdot a^2 \\
&= 32a^3.
\end{align*}
\]

Таким образом, выражение 8a^3 разлагается на множители как 32a^3.

Удачи в решении задач! Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!