Определить, эквивалентны ли уравнения 5x²+4x-1=0 и x(2x+11)=-6-x²

Sherlok

66

Хорошо, давайте разберемся сначала с первым уравнением.

Уравнение 5x² + 4x - 1 = 0 записано в квадратичной форме, где x - неизвестная переменная. Для того чтобы проверить его эквивалентность с другим уравнением, нам нужно сначала привести его к подходящему виду.

Для начала, давайте проверим, можно ли уравнение 5x² + 4x - 1 = 0 представить в виде (ax + b)(cx + d) = 0, где a, b, c и d - коэффициенты. Раскрывая скобки, получим:

(ac)x² + (ad + bc)x + bd = 0

Сравнивая с исходным уравнением 5x² + 4x - 1 = 0, мы видим, что:

ac = 5,
ad + bc = 4,
bd = -1.

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений относительно переменных a, b, c и d. Для этого воспользуемся методом подстановки или методом Крамера. Я воспользуюсь методом подстановки.

Первое уравнение в системе ac = 5 можно записать в виде a = 5/c (если c ≠ 0). Подставляя это выражение во второе уравнение ad + bc = 4, получим:

(5/c)d + bc = 4

Теперь решим это уравнение относительно переменных d и b:

d = (4 - bc) / (5/c)

Теперь выражение для b:

b = -1 / d

Таким образом, у нас есть выражения для переменных a, b, c и d:

a = 5/c,
d = (4 - bc) / (5/c),
b = -1 / d.

Мы можем выбрать любые значения для c и найти соответствующие значения a, b и d. Например, давайте возьмем c = 1. Тогда:

a = 5/1 = 5,
d = (4 - b) / 5.

Мы также знаем, что bd = -1. Подставим значения в эту формулу:

(4 - b) * b / 5 = -1.

Распространяя, получим:

4b - b² = -5.

Приведя уравнение в квадратичную форму, получим:

b² - 4b + 5 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или метода завершения квадратного трехчлена.

Для этого у нас есть формула дискриминанта D = b² - 4ac. Подставим значения:

D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение не имеет действительных корней. То есть, когда c = 1, мы не можем найти значения a, b и d, удовлетворяющие условию.

Поэтому мы можем сделать вывод, что уравнение 5x² + 4x - 1 = 0 не эквивалентно уравнению x(2x + 11) = -6 - x².