ЗАДАЧА 4 В треугольнике ABC, где AB = BC, точка M является серединой стороны AB, точка P - серединой отрезка
ЗАДАЧА 4 В треугольнике ABC, где AB = BC, точка M является серединой стороны AB, точка P - серединой отрезка СМ, и точка N делит сторону ВС в отношении 3:1 (от вершины B). Найдите значения отношения AP / MN.
ЗАДАЧА 5 Найдите результат следующих выражений: a) 2^64 - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^63)
ЗАДАЧА 5 Найдите результат следующих выражений: a) 2^64 - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^63)
Андреевна 46
ЗАДАЧА 4:Чтобы найти значение отношения AP/MN, нам необходимо определить координаты точек A, B, C, M, P и N на координатной плоскости и использовать геометрические свойства треугольника.
Предположим, что A(-a, 0), B(0, 0) и C(a, 0), где а - положительное число, поскольку AB = BC. Также предположим, что N(x, 0), где x - координата точки N на оси x.
Так как M является серединой стороны AB, то координата точки M будет (-(a/2), 0).
Точка P является серединой отрезка CM, поэтому ее координаты будут ((a/2 - x)/2, 0). Воспользуемся отношением, что AP/PN = AM/MN. Подставим в него найденные координаты точек:
AP / PN = AM / MN
AP / (PN + AP) = AM / MN
Для нахождения координат точки P, рассмотрим отношение (x - 0) / (a - x) = 3 / 1, так как точка N делит сторону ВС в отношении 3:1.
Решая эту пропорцию, получаем:
x / (a - x) = 3 / 1
x = 3(a - x)
x = 3a - 3x
4x = 3a
x = (3/4)a
Теперь, зная значение x, можем подставить его в координаты точки P и получить P((a/8),0).
Теперь рассчитаем AM и MN:
AM = sqrt((a/2 - (a/8))^2 + 0^2) = sqrt((3a/8)^2) = (3/8)a
MN = x - 0 = (3/4)a
Подставив значения в равенство AP / (PN + AP) = AM / MN, получим:
AP / (PN + AP) = (3/8)a / (3/4)a
Упрощая выражение:
AP / (PN + AP) = 1 / 2
Таким образом, значение отношения AP / MN равно 1/2.
ЗАДАЧА 5:
a) Для вычисления значения выражения 2^64 - (1+2+2^2 +2^3 +...+2^63), нам нужно сначала посчитать сумму \(1+2+2^2+2^3+...+2^{63}\), а затем вычесть ее из \(2^{64}\).
Давайте рассмотрим эту сумму. Она представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым элементом \(a = 1\) и знаменателем \(r = 2\). Сумма прогрессии будет равна:
\[S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]
где \(n = 63\) - количество членов прогрессии.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
\[S = \frac{1(1 - 2^{63})}{1 - 2}\]
Упрощая это выражение:
\[S = 2^{64} - 1\]
Теперь мы можем вычислить значение исходного выражения, вычитая эту сумму из \(2^{64}\):
\[2^{64} - (1+2+2^2+2^3+...+2^{63}) = 2^{64} - (2^{64} - 1) = 2^{64} - 2^{64} + 1 = 1\]
Таким образом, результат данного выражения равен 1.