Задача 5. Рабочий сделал пять предметов. Допустим, что событие Ak (k= 1, 2, 3, 4, 5) означает, что k-й предмет имеет

Lyubov

63

Задача 5:
а) Ни один предмет не имеет дефектов. Обозначим это событие \(A_1\). В данной задаче у нас 5 предметов, и для наступления события \(A_1\) ни один из них не должен иметь дефектов. Формально, это означает, что \(A_1\) = \(\overline{A_1}\), где \(\overline{A_1}\) - событие, противоположное \(A_1\). То есть, если при обозначении события \(A_k\) дефект имеет \(k\)-й предмет, то при обозначении события \(\overline{A_k}\) дефект не имеет \(k\)-й предмет.

б) Все предметы имеют дефекты. Обозначим это событие \(A_2\). Аналогично предыдущему пункту, для наступления события \(A_2\) каждый из 5 предметов должен иметь дефект. То есть, это означает, что \(A_2 = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \cap A_5\), где \(\cap\) - пересечение событий.

в) Не более двух предметов имеют дефекты. Обозначим это событие \(A_3\). Чтобы найти данное событие, посчитаем, сколько возможных комбинаций из 5 предметов могут иметь дефекты не более, чем у двух из них. Посчитав эти комбинации, получим \(A_3 = A_1 \cup A_2 \cup A_3\), где \(\cup\) - объединение событий.

г) По крайней мере два предмета не имеют дефектов. Обозначим это событие \(A_4\). Для наступления данного события, должно быть хотя бы два предмета без дефектов. Посчитаем количество комбинаций, в которых у двух или более предметов нет дефектов, и получим \(A_4 = A_1 \cup A_2 \cup A_4 \cup A_5\).

д) Только один предмет имеет дефект. Обозначим это событие \(A_5\). Для наступления данного события, необходимо, чтобы только один из 5 предметов имел дефект. То есть, это означает, что должны быть выполнены условия \(A_1 \cap A_5 = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4} \cap A_5\).

е) Ровно два предмета имеют дефекты. Обозначим это событие \(A_6\). Чтобы найти данное событие, нам необходимо посчитать количество комбинаций, в которых ровно два предмета имеют дефекты. Таким образом, мы находим \(A_6 = A_1 \cup A_2 \cup A_6\).

Задача 6:
а) Противоположное событие к \(A_1\) будет означать, что хотя бы один предмет имеет дефект. Обозначим это событие \(\overline{A_1}\).

б) Противоположное событие к \(A_2\) будет означать, что хотя бы один предмет не имеет дефекта. Обозначим это событие \(\overline{A_2}\).

в) Противоположное событие к \(A_3\) будет означать, что более двух предметов имеют дефекты. Обозначим это событие \(\overline{A_3}\).

Задача 7:
Несовместными событиями называются события, которые не могут произойти одновременно. Из задачи 5 несовместными парами событий будут являться:
1) \(A_1\) и \(A_2\) - ни один предмет не имеет дефектов и все предметы имеют дефекты.
2) \(A_1\) и \(A_3\) - ни один предмет не имеет дефектов и не более двух предметов имеют дефекты.
3) \(A_2\) и \(A_3\) - все предметы имеют дефекты и не более двух предметов имеют дефекты.

Задача 8:
События образуют полную группу событий, если их объединение равно достоверному событию. В данной задаче, события \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) и \(A_5\) не образуют полную группу событий, так как в их объединении отсутствует возможность, что все предметы имеют дефекты. Чтобы формировать полную группу событий, необходимо добавить событие, которое означает, что все предметы имеют дефект, т.е. противоположное событию \(A_1\). Обозначим это событие \(A_6\). Тогда получим полную группу событий \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\) и \(A_6\).