Задача. У условии дан треугольник АВС с координатами вершин A(2;-3;0), B(4;3;6), C(0;-1;-2). Найти: 1. Координаты всех

Sladkiy_Angel

28

Хорошо, давайте решим задачу.

1. Для начала, найдем координаты всех векторов. Вектор задается разностью координат двух точек.

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (4,3,6) - (2,-3,0) = (2,6,6)\]
\[\overrightarrow{AC} = C - A = (0,-1,-2) - (2,-3,0) = (-2,2,-2)\]
\[\overrightarrow{BC} = C - B = (0,-1,-2) - (4,3,6) = (-4,-4,-8)\]

Таким образом, получаем координаты всех векторов: \(\overrightarrow{AB} = (2,6,6)\), \(\overrightarrow{AC} = (-2,2,-2)\) и \(\overrightarrow{BC} = (-4,-4,-8)\).

2. Чтобы найти периметр треугольника АВС, найдем длины всех сторон и сложим их. Длина стороны треугольника равна длине вектора.

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (6)^2}\)
\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + (-2)^2}\)
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-8)^2}\)

Подставим значения и вычислим:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 36 + 36} = \sqrt{76}\)
\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}\)
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}\)

Теперь сложим длины сторон:

Периметр треугольника АВС = \(|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{BC}|\)

Периметр треугольника АВС = \(\sqrt{76} + \sqrt{12} + \sqrt{96}\)

3. Чтобы найти косинусы всех углов треугольника, воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

\(\cos(\angle BAC) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}\)
\(\cos(\angle BCA) = \frac{{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}\)
\(\cos(\angle ABC) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}}\)

Где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) - скалярное произведение векторов.

Подставим значения и вычислим:

\(\cos(\angle BAC) = \frac{{(2,6,6) \cdot (-2,2,-2)}}{{\sqrt{76} \cdot \sqrt{12}}}\)
\(\cos(\angle BCA) = \frac{{(-4,-4,-8) \cdot (-2,2,-2)}}{{\sqrt{96} \cdot \sqrt{12}}}\)
\(\cos(\angle ABC) = \frac{{(2,6,6) \cdot (-4,-4,-8)}}{{\sqrt{76} \cdot \sqrt{96}}}\)

4. Чтобы найти координаты середин всех сторон треугольника, найдем среднюю точку каждой стороны.

Координаты середины стороны AB = \(\left(\frac{{2+4}}{2}, \frac{{-3+3}}{2}, \frac{{0+6}}{2}\right) = (3,0,3)\)
Координаты середины стороны AC = \(\left(\frac{{2+0}}{2}, \frac{{-3-1}}{2}, \frac{{0-2}}{2}\right) = (1,-2,-1)\)
Координаты середины стороны BC = \(\left(\frac{{4+0}}{2}, \frac{{3-1}}{2}, \frac{{6-2}}{2}\right) = (2,1,2)\)

Таким образом, получаем координаты середин всех сторон треугольника: AB, AC и BC равны соответственно (3,0,3), (1,-2,-1) и (2,1,2).

Это полное решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, задавайте.