Каково условие для деления многочлена x³+y³+z³-3xyz на многочлен x+y+z?

Yasli

11

Чтобы найти условие для деления многочлена \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\) на многочлен \(x + y + z\), мы можем использовать метод деления многочленов. Давайте шаг за шагом разберемся.

Шаг 1: Сначала мы определяем, подходит ли старший член делителя для старшего члена делимого. В данном случае, старший член делителя \(x + y + z\) равен \(x\), а старший член делимого \(x^3\). Так как старший член делителя не делит старший член делимого, мы должны предположить, что остаток после деления есть какой-то многочлен \(A(x, y, z)\).

Шаг 2: Теперь мы делим делимое на делитель, игнорируя старший член для простоты. Делимое это \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\), а делитель это \(x + y + z\). Записывая это деление, мы получим:

\[
\begin{align*}
&\phantom{\big) }x^2 - (y + z)x + y^2 + z^2 - 4yz \\
x + y + z &\big) x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \\
& \phantom{\big) } x^3 + xy^2 + xz^2 \\
& \phantom{\big) } x^3 + xy^2 + x^2 y + y^3 - xy^2 - xyz \\
& \phantom{\big) } x^3 - xyz + x^2 y + y^3 + z^3 - xyz \\
& \phantom{\big) } x^3 + x^2 y - xyz + y^3 - xyz + z^3\\
& \phantom{\big) } x^3 - xyz + x^2 y - y^2z + y^3 + z^3 - xyz \\
& \phantom{\big) } - x^2 z - y^2 z - xyz
\end{align*}
\]

Шаг 3: Полученная сумма \(x^2 - (y + z)x + y^2 + z^2 - 4yz\) является частным, а оставшийся многочлен \(- x^2 z - y^2 z - xyz\) является остатком.

Таким образом, условие для деления многочлена \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\) на многочлен \(x + y + z\) это \(A(x, y, z) = x^2 - (y + z)x + y^2 + z^2 - 4yz\) и остатком будет \(- x^2 z - y^2 z - xyz\).

Надеюсь, эта пошаговая процедура помогла вам понять условие для деления многочлена на многочлен. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!