Задание. Предприятие намерено производить цилиндрические емкости без крышки. Пересчитать R базы и h емкости, если

Yuzhanka

24

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти значения радиуса базы (\(R\)) и высоты (\(h\)) цилиндра при условии, что объем (\(V\)) должен составлять \(24,389\pi\), а использование материала должно быть наименьшим.

Для начала вспомним формулу для объема цилиндра:

\[V = \pi R^2 h\]

Поскольку дано, что \(V = 24,389\pi\), подставим это значение в формулу и получим:

\[24,389\pi = \pi R^2 h\]

Теперь мы хотим найти значения \(R\) и \(h\), при которых использование материала будет наименьшим. Для этого нам нужно найти минимальное значение площади поверхности цилиндра, так как использование материала пропорционально площади поверхности.

Площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\[S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\]

Для того чтобы найти минимальное значение площади поверхности, можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Возьмем производную площади поверхности \(S\) по переменным \(R\) и \(h\) и приравняем их к нулю:

\[\frac{{dS}}{{dR}} = 4\pi R + 2\pi h = 0\]
\[\frac{{dS}}{{dh}} = 2\pi R = 0\]

Из первого уравнения получаем:

\[4\pi R = -2\pi h\]

Отсюда можно выразить \(h\) через \(R\):

\[h = -2R\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[2\pi R = 0\]

Видим, что радиус базы \(R\) должен быть равен нулю. Но такое условие не имеет физического смысла для цилиндра. Следовательно, в данной задаче невозможно найти такие значения \(R\) и \(h\), которые удовлетворяли бы всем условиям задачи.

Следовательно, в данном случае невозможно произвести цилиндрическую емкость без крышки при заданном объеме и наименьшем использовании материала.