Заряд на одной из обкладок конденсатора начинает равняться +q после его зарядки в колебательном контуре. Сколько

Юрий

70

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для заряда конденсатора в колебательном контуре. Формула выглядит следующим образом:

\[q(t) = q_{\text{макс}} \cdot \cos(\omega t + \varphi)\]

где:
- \(q(t)\) - заряд на обкладке конденсатора в момент времени \(t\)
- \(q_{\text{макс}}\) - максимальный заряд на конденсаторе
- \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) - угловая частота колебаний в контуре (\(T\) - период колебаний)
- \(\varphi\) - начальная фаза колебаний, которая зависит от начальных условий

Задача нам говорит, что заряд на обкладке конденсатора начинает равняться \(+q\) после зарядки. Значит, в начальный момент времени \(t = 0\) у нас есть:

\[q(0) = q_{\text{макс}} \cdot \cos(\varphi) = +q\]

Теперь нам нужно найти момент времени \(t_1\), когда заряд на обкладке конденсатора станет равным \(-q\).

а) Поскольку задача говорит, что период свободных колебаний в контуре равен \(T\), то мы можем сказать, что для случая \(t = T\) выполняется:

\[q(T) = q_{\text{макс}} \cdot \cos(\omega T + \varphi) = +q\]

Таким образом, у нас получается уравнение:

\[q = q_{\text{макс}} \cdot \cos(\omega T + \varphi) = +q\]

Решим это уравнение относительно \(\cos(\omega T + \varphi)\):

\[\cos(\omega T + \varphi) = \frac{+q}{q_{\text{макс}}}\]

Поскольку мы хотим, чтобы заряд стал равным \(-q\), то \(\cos(\omega T + \varphi)\) должно быть равно -1. Таким образом:

\[-1 = \frac{+q}{q_{\text{макс}}}\]

Отсюда мы можем найти \(q_{\text{макс}}\):

\[q_{\text{макс}} = -q\]

Теперь мы можем подставить это значение и решить уравнение:

\[-1 = \frac{+q}{-q}\]

Очевидно, что это уравнение выполняется для любого значения \(q\), поэтому неважно, какой именно заряд у нас на обкладке, ответом будет:

\[t_1 = T\]

Таким образом, минимальное время, которое должно пройти после замыкания конденсатора на катушку, чтобы заряд на той же обкладке стал равным \(-q\), равно периоду свободных колебаний в контуре, т.е. \(t = T\).

б) Аналогично, если период свободных колебаний в контуре равен \(T/2\), то решим уравнение:

\[q = q_{\text{макс}} \cdot \cos(\omega (T/2) + \varphi) = +q\]

Подставляем \(q_{\text{макс}} = -q\) и решаем уравнение:

\[-1 = \frac{+q}{-q}\]

Получаем, что уравнение опять выполняется для любого значения \(q\), поэтому ответом будет:

\[t_2 = \frac{T}{2}\]

Таким образом, минимальное время, которое должно пройти после замыкания конденсатора на катушку, чтобы заряд на той же обкладке стал равным \(-q\), равно половине периода свободных колебаний в контуре, т.е. \(t = \frac{T}{2}\).