Значение параметра p такое, при котором уравнение x2+px+28=0 имеет корень, равный 8? (округлите ответ до сотых

Lapulya

14

Для начала, давайте рассмотрим уравнение x^2 + px + 28 = 0, в котором p - параметр, а мы хотим найти значение параметра, при котором уравнение имеет корень, равный 8.

Чтобы найти это значение, давайте воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, a = 1, b = p и c = 28, так как коэффициент при x^2 равен 1.

Подставим значения в формулу и получим:

\[8 = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}\]

Для удобства будем считать только положительные корни, так как в задаче не указано, какой именно корень нужно найти.

Теперь давайте решим это уравнение:

\[8 = \dfrac{-p + \sqrt{p^2 - 112}}{2}\]

Укажем искомый корень:

\[p = -8 + 2\sqrt{p^2 - 112}\]

Разрешим путем упрощения и перестановки членов:

\[2p - \sqrt{p^2 - 112} = 8\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[(2p - \sqrt{p^2 - 112})^2 = 8^2\]

Раскроем скобки:

\[4p^2 - 4p\sqrt{p^2 - 112} + (p^2 - 112) = 64\]

Упростим:

\[5p^2 - 4p\sqrt{p^2 - 112} - 176 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Так как задача просит найти значение параметра, округлим его до сотых в таком виде: p = x, где x - число, округленное до сотых.

Решим это уравнение используя формулу дискриминанта, чтобы найти x.

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 формула дискриминанта имеет вид:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, a = 5, b = -4√(p^2 - 112) и c = -176.

Подставим значения в формулу дискриминанта и получим:

\[D = (-4√(p^2 - 112))^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-176)\]

Упростим:

\[D = 16(p^2 - 112) + 3520\]

\[D = 16p^2 - 1792 + 3520\]

\[D = 16p^2 + 1728\]

Теперь найдем значение параметра, используя найденное значение дискриминанта:

Если уравнение имеет решение, то дискриминант должен быть больше или равен нулю (D ≥ 0).

\[16p^2 + 1728 \geq 0\]

Вычтем 1728 из обеих сторон неравенства:

\[16p^2 \geq -1728\]

Поделим обе части неравенства на 16:

\[p^2 \geq -108\]

Так как значение параметра p является вещественным числом, то квадрат p^2 всегда будет неотрицательным числом или ноль. Следовательно, для любого значения p уравнение всегда будет иметь корень, равный 8.

Таким образом, значение параметра p такое, что уравнение x^2 + px + 28 = 0 имеет корень, равный 8, для любого неотрицательного значения p, включая ноль.

\( p \geq 0 \)