Знайдіть довжину меншої сторони та площу прямокутника, якщо велика сторона має розмір 10√3 мм, діагональ дорівнює

Vulkan

23

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора и знания о связи между сторонами и диагоналями прямоугольника.

По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется соотношение:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, длина диагонали прямоугольника равна 20 мм, а угол между диагональю и меньшей стороной составляет 60 градусов. Пусть меньшая сторона равна \(x\) мм.

Мы знаем, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, а меньшая сторона является одним из катетов. Также, угол между гипотенузой и одним из катетов равен 60 градусов.

Используя формулы тригонометрии, мы можем записать следующие соотношения:
\[\sin(60^\circ) = \frac{x}{20}\]

Согласно таблицам значений, \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение в уравнение:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{20}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение \(x\). Умножим обе стороны уравнения на 20:
\[\sqrt{3} = \frac{20x}{2}\]
\[\sqrt{3} = 10x\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на 10:
\[x = \frac{\sqrt{3}}{10}\]

Итак, длина меньшей стороны прямоугольника составляет \(\frac{\sqrt{3}}{10}\) мм.

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы знаем, что она равна произведению длин его сторон. Так как большая сторона имеет длину \(10\sqrt{3}\) мм, а меньшая сторона - \(\frac{\sqrt{3}}{10}\) мм, площадь прямоугольника равна:
\[S = (10\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{10}) = 3\text{ мм}^2\]

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника составляет \(\frac{\sqrt{3}}{10}\) мм, а площадь прямоугольника равна 3 квадратным миллиметрам.