Знайдіть площу бічної поверхні трикутної призми з правильним основою, якщо медіана основи дорівнює 2 корня з 3

Таинственный_Рыцарь

19

Щоб знайти площу бічної поверхні трикутної призми, треба спочатку знайти сторону основи трикутника. Для цього використовуємо дану інформацію про медіану.

Медіана трикутника - це лінія, яка з"єднує середини сторін до вершини, і розділяє її на дві рівні частини. У правильному трикутнику медіана ділить сторону на дві рівні частини, тому ми можемо скористатись цим для знаходження розміру сторони основи.

Маємо рівняння:

\[2m = 2\sqrt{3},\]

де \(m\) - сторона основи. Розв"язуємо його:

\[m = \sqrt{3}.\]

Тепер нам потрібно знайти висоту трикутної призми. Висота - це відстань від основи до верхньої точки трикутної грані.

А тепер давайте знайдемо розміри бічної грані трикутної призми. Вона має форму прямокутного трикутника, адже ми знаємо, що кут між діагоналлю та висотою становить 45 градусів. Оскільки ми маємо правильну призму, то кут між бічною гранню і висотою також буде 45 градусів. Це означає, що ми можемо розкласти трикутник на два прямокутних трикутники шляхом проведення висоти з вершини прямокутного кута до середини протилежної сторони.

Тому, ми будемо мати два прямокутні трикутника, кожний з яких матиме кут між бічною гранню та висотою дорівнювати 45 градусів.

Звідси ми можемо використовувати формулу площі прямокутного трикутника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

де \(a\) і \(b\) - довжина катетів прямокутного трикутника.

Тепер ми маємо правильну основу трикутної призми зі стороною \(\sqrt{3}\) см та два прямокутних трикутника з катетами \(a\) та \(b\), які ми повинні знайти.

Розглянемо перший трикутник. За теоремою Піфагора, ми маємо:

\[a^2 + b^2 =x^2,\]

де \(x\) - довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, яка дорівнює стороні основи трикутної призми, тобто \(\sqrt{3}\) см.

Ми також маємо кут між бічною гранню і висотою, який дорівнює 45 градусів, тобто можемо використати тригонометричні співвідношення.

\[a = x \cdot \cos(45^\circ)\]
\[b = x \cdot \sin(45^\circ)\]

Підставляємо ці значення в перше рівняння:

\[(x \cdot \cos(45^\circ))^2 + (x \cdot \sin(45^\circ))^2 = x^2.\]

Спрощуємо:

\[\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2.\]

Вираз посередині спрощується, тому маємо:

\[x^2 = x^2.\]

З цього маємо рівнимірні вирази, що означає, що можемо брати будь-яке значення для \(x\).

Таким чином, площа одного прямокутного трикутника дорівнює:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot \cos(45^\circ)) \cdot (x \cdot \sin(45^\circ)).\]

Подібно, площа другого прямокутного трикутника дорівнює:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot \sin(45^\circ)) \cdot (x \cdot \cos(45^\circ)).\]

Так як ми маємо два однакових прямокутних трикутника, площа бічної поверхні трикутної призми дорівнює сумі площ першого і другого прямокутних трикутників:

\[S = S_1 + S_2.\]

Підставимо значення та обчислимо площу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \cos(45^\circ)) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ)) + \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ)) \cdot (\sqrt{3} \cdot \cos(45^\circ)).\]

Обчислимо значення синуса та косинуса 45 градусів:

\[\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Підставимо ці значення та обчислимо площу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}).\]

Спрощуємо та обчислємо:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3.\]

Отже, площа бічної поверхні трикутної призми дорівнює 3 квадратним сантиметрам.

Надіюся, що цей пошаговий розбір допоміг вам зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні трикутної призми з правильним основою. Якщо у вас є ще питання, будь ласка, звертайтеся!