Знайдіть площу перерізу циліндра, якщо паралельно до його осі проведено площину, яка відтинає від кола його основи дугу
Знайдіть площу перерізу циліндра, якщо паралельно до його осі проведено площину, яка відтинає від кола його основи дугу α. Кут між діагоналлю отриманого перерізу і твірною циліндра дорівнює β. Припустімо, що радіус циліндра дорівнює r.
Angelina 54
Радіус циліндра, позначимо його як \(r\), и длина циліндра \(h\).Спершу знайдемо площу кола, яке отримується при перерізі циліндра площиною, паралельною до його осі. Для цього скористаємося формулою площі круга \(S = \pi r^2\).
Тепер розглянемо переріз площиною. Діаметр отриманого кола буде дорівнювати діаметру кола основи циліндра, тобто \(2r\). Якщо би цю діагональ провели через центр кола, то вона була б радіусом кола, і кут між нею і твірною дорівнював би \(\frac{\pi}{2}\) радіан. Оскільки ця діагональ відхиляється від центра кола, а кут між ними дорівнює \(\beta\), застосуємо тригонометричну формулу:
\(\sin(\beta) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}\).
Тепер розглянемо дугу \(\alpha\) кола основи циліндра, яка відірвана від основи площиною. Площа дуги кола обчислюється за формулою \(S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\).
Щоб знайти площу перерізу, віднімемо площу дуги від площі кола таким чином: \(S_{\text{перерізу}} = \pi r^2 - \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\).
Застосуємо цю формулу до ваших значень \(\alpha\) і \(\beta\) для знаходження площі перерізу.