Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу вдвічі більша від радіуса основи, що дорівнює

Алиса

33

Щоб знайти площу повної поверхні циліндра, нам потрібно розрахувати площу основи та площу бічної поверхні, а потім додати їх разом.

1. Площа основи:
Площа кола обчислюється за формулою:
\[ S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2 \]
де \( r \) - радіус основи.

2. Площа бічної поверхні:
Площа бічної поверхні циліндра розраховується, використовуючи формулу:
\[ S_{\text{біч}} = 2 \pi \cdot r \cdot h \]
де \( r \) - радіус основи, а \( h \) - висота циліндра.

3. Для знаходження висоти циліндра використовуємо дані про діагональ перерізу:
Для простоти позначимо діагональ перерізу як \( d \).
За умовою задачі сказано, що діагональ перерізу вдвічі більша від радіуса:
\[ d = 2r \]
Перенесемо \( 2r \) на одну сторону рівняння та поділимо обидві частини на 2:
\[ r = \frac{d}{2} \]

4. Тепер ми знаємо значення радіуса основи, але нам потрібно знайти висоту циліндра. Для цього спочатку знайдемо радіус кола основи:
Радіус кола основи відповідає \( \frac{d}{4} \), тому:
\[ r_{\text{осн}} = \frac{d}{4} \]

5. Далі, знайдемо площу кола основи:
\[ S_{\text{осн}} = \pi \cdot \left(\frac{d}{4}\right)^2 \]
Виконуємо обчислення:
\[ S_{\text{осн}} = \pi \cdot \frac{d^2}{16} = \frac{\pi d^2}{16} \]

6. Площа бічної поверхні:
\[ S_{\text{біч}} = 2 \pi \cdot \frac{d}{2} \cdot h \]
Можемо спростити це:
\[ S_{\text{біч}} = \pi \cdot d \cdot h \]

7. Таким чином, площа повної поверхні циліндра буде:
\[ S_{\text{повн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{біч}} \]
Підставляємо значення:
\[ S_{\text{повн}} = \frac{\pi d^2}{16} + \pi d \cdot h \]

Отримали рівняння для площі повної поверхні циліндра в термінах діагоналі перерізу \( d \) та висоти \( h \).