Знайдіть радіус більшого кола, в яке вписано два кола, які зовнішньо дотикаються один одного, якщо радіус меншого кола

Рак

53

Для решения этой задачи нам потребуется знание о рассмотрении касательных к окружностям и свойствах правильных многоугольников.

В данной задаче у нас есть две окружности, которые вписаны в большую окружность. Отсюда можно сделать вывод, что линия, соединяющая центры этих двух маленьких окружностей, является диаметром большой окружности.

Давайте обозначим радиус меньшей окружности как $r$ и радиус большей окружности как $R$.

Вписывая маленькие окружности в большую, мы получаем правильный треугольник ABC, где каждый из углов при вершинах является 60 градусами, так как треугольник равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник OAB, где O - центр большой окружности.
Мы знаем, что угол BAO является прямым, так как OA - радиус окружности, а AB - диаметр окружности.
Также мы знаем, что угол OAB равен 60 градусам, так как треугольник равносторонний.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника с прямым углом, чтобы рассчитать отношение сторон этого треугольника.
Мы можем записать отношение длины стороны AB к длине стороны OA как $\frac{AB}{OA}=\tan (\mathrm{\angle }OAB)$.

Подставив данную формулу и известные значения, получим следующее:
$\frac{2R}{R-r}=\tan ({60}^{\circ })$.

Теперь решим эту уравнение относительно R:

$\frac{2R}{R-r}=\sqrt{3}$.

Перемножим оба выражения:
$2R=\sqrt{3}(R-r)$.

Раскроем скобки:
$2R=\sqrt{3}R-\sqrt{3}r$.

Вычтем $\sqrt{3}R$ из обеих частей:
$2R-\sqrt{3}R=-\sqrt{3}r$.

$R(2-\sqrt{3})=-\sqrt{3}r$.

Теперь разделим обе части на коэффициент при R:
$R=\frac{-\sqrt{3}r}{2-\sqrt{3}}$.

Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное значение $2+\sqrt{3}$:
$R=\frac{-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$.

Распространяя эту формулу, получим:
$R=\frac{-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}$.

Дальнейшее упрощение даст нам окончательный ответ:
$$R=\frac{-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})}{4-3}=\frac{-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})}{1}=-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})$$.

Итак, мы получили выражение для радиуса большей окружности $R$:
$$R=-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})$$.

Таким образом, радиус большей окружности, в которую вписаны две окружности, радиус одной из которых составляет 60 градусов, равен $-\sqrt{3}r(2+\sqrt{3})$.