Знайдіть радіус більшого кола, в яке вписано два кола, які зовнішньо дотикаються один одного, якщо радіус меншого кола

Рак

53

Для решения этой задачи нам потребуется знание о рассмотрении касательных к окружностям и свойствах правильных многоугольников.

В данной задаче у нас есть две окружности, которые вписаны в большую окружность. Отсюда можно сделать вывод, что линия, соединяющая центры этих двух маленьких окружностей, является диаметром большой окружности.

Давайте обозначим радиус меньшей окружности как \(r\) и радиус большей окружности как \(R\).

Вписывая маленькие окружности в большую, мы получаем правильный треугольник ABC, где каждый из углов при вершинах является 60 градусами, так как треугольник равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник OAB, где O - центр большой окружности.
Мы знаем, что угол BAO является прямым, так как OA - радиус окружности, а AB - диаметр окружности.
Также мы знаем, что угол OAB равен 60 градусам, так как треугольник равносторонний.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника с прямым углом, чтобы рассчитать отношение сторон этого треугольника.
Мы можем записать отношение длины стороны AB к длине стороны OA как \(\frac{AB}{OA} = \tan(\angle OAB)\).

Подставив данную формулу и известные значения, получим следующее:
\(\frac{2R}{R-r} = \tan(60^\circ)\).

Теперь решим эту уравнение относительно R:

\(\frac{2R}{R-r} = \sqrt{3}\).

Перемножим оба выражения:
\(2R = \sqrt{3}(R-r)\).

Раскроем скобки:
\(2R = \sqrt{3}R - \sqrt{3}r\).

Вычтем \(\sqrt{3}R\) из обеих частей:
\(2R - \sqrt{3}R = - \sqrt{3}r\).

\(R(2 - \sqrt{3}) = - \sqrt{3}r\).

Теперь разделим обе части на коэффициент при R:
\(R = \frac{- \sqrt{3}r}{2 - \sqrt{3}}\).

Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное значение \(2 + \sqrt{3}\):
\(R = \frac{- \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}\).

Распространяя эту формулу, получим:
\(R = \frac{- \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2}\).

Дальнейшее упрощение даст нам окончательный ответ:
\[R = \frac{- \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{- \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})}{1} = - \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})\].

Итак, мы получили выражение для радиуса большей окружности \(R\):
\[R = - \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})\].

Таким образом, радиус большей окружности, в которую вписаны две окружности, радиус одной из которых составляет 60 градусов, равен \(- \sqrt{3}r(2 + \sqrt{3})\).