Какова площадь четырехугольника, заданного вершинами A(16;3), B(18;5), C(16;7) и D(14;5)?

Kristalnaya_Lisica_1504

53

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади четырехугольника на плоскости. Эта формула использует координаты вершин фигуры.

Построим на координатной плоскости четырехугольник, заданный вершинами A(16;3), B(18;5), C(16;7) и D(14;5). Видим, что это выпуклый четырехугольник.

\[
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[->] (-1,0) -- (20,0) node[right] {x};
\draw[->] (0,-1) -- (0,10) node[above] {y};
\foreach \x in {0,2,...,20}
\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};
\foreach \y in {0,2,...,10}
\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
\draw (16,3) node[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
\draw (18,5) node[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
\draw (16,7) node[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
\draw (14,5) node[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
\draw (16,3) -- (18,5) -- (16,7) -- (14,5) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\]

Мы можем разделить четырехугольник на два треугольника: ABC и ACD. Поскольку оба треугольника находятся в одной плоскости, мы можем найти площади каждого из них отдельно и затем сложить.

Для треугольника ABC мы можем использовать формулу площади треугольника, которая использует координаты вершин и определитель:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |(x_A - x_C) \cdot (y_B - y_A) - (x_B - x_A) \cdot (y_A - y_C)|
\]

Подставляя значения координат вершин, мы получим:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |(16 - 16) \cdot (5 - 3) - (18 - 16) \cdot (3 - 7)|
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |0 \cdot 2 - 2 \cdot (-4)| = 4
\]

Теперь найдем площадь треугольника ACD, используя аналогичную формулу:

\[
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot |(x_A - x_D) \cdot (y_C - y_A) - (x_C - x_A) \cdot (y_A - y_D)|
\]

Подставляя значения координат вершин, мы получим:

\[
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot |(16 - 14) \cdot (7 - 3) - (16 - 16) \cdot (3 - 5)|
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot |2 \cdot 4 - 0 \cdot (-2)| = 4
\]

Теперь сложим площади треугольников:

\[
S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 4 + 4 = 8
\]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 8.

Ответ: площадь четырехугольника, заданного вершинами A(16;3), B(18;5), C(16;7) и D(14;5), равна 8.