Знайдіть відстань від центра сфери до площини трикутника, якщо вершини прямокутного трикутника розташовані на сфері

Morozhenoe_Vampir

34

Давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, давайте определимся с данными. Вершины прямоугольного треугольника расположены на сфере радиусом \(3\sqrt{5}\) см. А длина катетов треугольника не указана. Давайте обозначим эту длину как \(a\) см.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы треугольника

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. У нас имеется прямоугольный треугольник, поэтому применим эту формулу:

\[a^2 + a^2 = c^2\]

Упростим:

\[2a^2 = c^2\]

\[c = \sqrt{2a^2}\]

\[c = a\sqrt{2}\]

Шаг 2: Найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника

Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости. Пусть \(O\) - центр сферы, а \(P\) - точка на плоскости треугольника, через которую проведена перпендикуляр из центра сферы. Обозначим расстояние, которое мы ищем, как \(d\).

Тогда уравнение плоскости, проходящей через треугольник, можно записать как \(x + y + z + d = 0\), где \(x, y, z\) - координаты точки \(P\), а \(d\) - искомое расстояние.

Так как треугольник прямоугольный, его стороны параллельны осям координат. Мы знаем, что координаты центра сферы \(O\) равны нулю, так как центр сферы находится в начале координат. Значит, координаты точки \(P\) равны \((a, a, 0)\).

Подставим эти координаты в уравнение плоскости и найдем \(d\):

\[a + a + 0 + d = 0\]

\[2a + d = 0\]

\[d = -2a\]

Шаг 3: Найдем модуль найденного расстояния

Так как расстояние не может быть отрицательным, возьмем модуль найденного значения:

\[|d| = |{-2a}| = 2a\]

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно \(2a\) см.

Если вам известна длина катетов треугольника, вы можете подставить соответствующее значение \(a\) в последний шаг и найти ответ.