Знайдіть відстань від центра сфери до площини трикутника, якщо вершини прямокутного трикутника розташовані на сфері

Morozhenoe_Vampir

34

Давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, давайте определимся с данными. Вершины прямоугольного треугольника расположены на сфере радиусом $3\sqrt{5}$ см. А длина катетов треугольника не указана. Давайте обозначим эту длину как $a$ см.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы треугольника

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. У нас имеется прямоугольный треугольник, поэтому применим эту формулу:

$$a^2+a^2=c^2$$

Упростим:

$$2a^2=c^2$$

$$c=\sqrt{2a^2}$$

$$c=a\sqrt{2}$$

Шаг 2: Найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника

Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости. Пусть $O$ - центр сферы, а $P$ - точка на плоскости треугольника, через которую проведена перпендикуляр из центра сферы. Обозначим расстояние, которое мы ищем, как $d$.

Тогда уравнение плоскости, проходящей через треугольник, можно записать как $x+y+z+d=0$, где $x,y,z$ - координаты точки $P$, а $d$ - искомое расстояние.

Так как треугольник прямоугольный, его стороны параллельны осям координат. Мы знаем, что координаты центра сферы $O$ равны нулю, так как центр сферы находится в начале координат. Значит, координаты точки $P$ равны $(a,a,0)$.

Подставим эти координаты в уравнение плоскости и найдем $d$:

$$a+a+0+d=0$$

$$2a+d=0$$

$$d=-2a$$

Шаг 3: Найдем модуль найденного расстояния

Так как расстояние не может быть отрицательным, возьмем модуль найденного значения:

$$|d|=|-2a|=2a$$

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $2a$ см.

Если вам известна длина катетов треугольника, вы можете подставить соответствующее значение $a$ в последний шаг и найти ответ.