Знайти інтервали зменшення функції y=1/4x^4-1/2x^2+5. Відповісти, яка додатня значення x входить в ці інтервали

Letuchiy_Demon

26

Щоб знайти інтервали зменшення функції \(y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\), спочатку треба знайти точки екстремуму цієї функції. Це можна зробити шляхом знаходження похідної функції за \(x\) і прирівнювання результату до нуля.

Обчислимо похідну функції \(y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\):

\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\right)\]

Для цього застосуємо правило похідної для кожного доданка:

\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(5)\]

\[y" = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0\]

\[y" = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x\]

\[y" = x^3 - x\]

Тепер прирівняємо \(y"\) до нуля, щоб знайти точки екстремуму:

\[x^3 - x = 0\]

\[x(x^2 - 1) = 0\]

Для \(x = 0\) маємо одну точку екстремуму.
Далі, маємо дві квадратних дужки: \(x^2 - 1 = 0\) Для яких \(x^2 = 1\). Розв"язок цієї квадратної рівності \(x = \pm 1\). Отже, маємо ще дві точки екстремуму: \(x = -1\) і \(x = 1\).

Далі потрібно з"ясувати, які проміжки на числовій прямій є проміжками зменшення функції. Для цього треба проаналізувати значення похідної функції на цих проміжках.

Розглянемо значення похідної функції \(y" = x^3 - x\) на інтервалах між точками екстремуму та поза цими точками.

1) Інтервал \(-\infty < x < -1\):

Для \(x = -2\), \(y" = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6\), отже значення похідної негативне.
Для \(x = -1.5\), \(y" = (-1.5)^3 - (-1.5) = -3.375 + 1.5 = -1.875\), також отримуємо від"ємне значення.
Таким чином, на цьому інтервалі функція \(y\) зменшується.

2) Пустий інтервал між -1 та 0:

На цьому інтервалі між точками екстремуму немає жодних значень \(x\), тому цей проміжок не враховуємо.

3) Інтервал \(-1 < x < 0\):

Для \(x = -0.5\), \(y" = (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375\), отже значення похідної позитивне.
Таким чином, на цьому інтервалі функція \(y\) зростає.

4) Інтервал \(0 < x < 1\):

Для \(x = 0.5\), \(y" = (0.5)^3 - (0.5) = 0.125 - 0.5 = -0.375\), отримуємо від"ємне значення.
Таким чином, на цьому інтервалі функція \(y\) зменшується.

5) Пустий інтервал між 0 та 1.

6) Інтервал \(1 < x < \infty\):

Для \(x = 2\), \(y" = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6\), отже значення похідної позитивне.
Для \(x = 1.5\), \(y" = 1.5^3 - 1.5 = 3.375 - 1.5 = 1.875\), також отримуємо позитивне значення.
Таким чином, на цьому інтервалі функція \(y\) зростає.

Отже, маємо два інтервали зменшення функції: \(-\infty < x < -1\) та \(0 < x < 1\). Додатні значення \(x\), що належать до цих інтервалів зменшення, - довільний вибір числа з відповідного інтервалу. Наприклад, \(x = -2\) або \(x = -1.5\) для першого інтервалу, або \(x = 0.5\) для другого інтервалу.