Знайти миттєву швидкість v(t) рухаючоїся точки, яка рухається прямолінійно з прискоренням a(t)=12t^2+4, якщо у момент

Pushok_5852

59

Добро пожаловать на урок математики! Для решения данной задачи нам необходимо найти мгновенную скорость \( v(t) \) движущейся точки, используя заданное уравнение ускорения \( a(t) = 12t^2 + 4 \), при условии \( t = 1 \), где скорость точки равна 10 м/с.

Для нахождения мгновенной скорости необходимо проинтегрировать функцию ускорения \( a(t) \) по переменной времени \( t \). Результатом этого будет функция скорости \( v(t) \).

Давайте найдем первообразную функции ускорения:

\[ \int (12t^2 + 4) dt \]

Выполняем интегрирование по отдельным членам:

\[ = \int 12t^2 dt + \int 4 dt \]

Интегрируем каждое слагаемое:

\[ = 4t^3 + 4t + C \]

Теперь у нас есть функция скорости \( v(t) = 4t^3 + 4t + C \).

Чтобы определить значение константы интегрирования \( C \), воспользуемся условием, что в момент времени \( t = 1 \), скорость точки равна 10 м/с.

Подставляем значения \( t = 1 \) и \( v(t) = 10 \) в уравнение для \( v(t) \) и решаем уравнение относительно \( C \):

\[ 10 = 4(1)^3 + 4(1) + C \]
\[ 10 = 4 + 4 + C \]
\[ 10 = 8 + C \]
\[ C = 10 - 8 \]
\[ C = 2 \]

Таким образом, константа интегрирования \( C \) равна 2.

Теперь, подставляя значение \( C \) в уравнение \( v(t) \), получаем:

\[ v(t) = 4t^3 + 4t + 2 \]

Итак, мгновенная скорость движущейся точки равна \( v(t) = 4t^3 + 4t + 2 \).