Знайти площу сфери, якщо аспектні сторони рівнобедреного трикутника доторкаються до неї: ОО1 = 5 см, АВ = АС

Matvey_6956

54

Щоб знайти площу сфери, потрібно знати радіус цієї сфери. У цій задачі ми маємо рівнобедрений трикутник, який доторкається до сфери.

Ми знаємо, що сторона трикутника ОО1 має довжину 5 см, а сторона трикутника АВ та АС має довжину 20 см.

Давайте спочатку знайдемо висоту трикутника, проведену з вершини О перпендикулярно до сторони АВ. Застосуємо теорему Піфагора для правого трикутника АОО1:

\[
\begin{align*}
ОО1^2 &= АО^2 - АО1^2 \\
5^2 &= АО^2 - 10^2 \\
25 &= АО^2 - 100 \\
АО^2 &= 125 \\
АО &= \sqrt{125} \\
АО &\approx 11.18 \text{ см}
\end{align*}
\]

Тепер, ми маємо трикутник АОВ, в якому ми знаємо довжини всіх сторін (АО = 11.18 см, АВ = 20 см та ВО = 20 см). Застосуємо формулу Герона для знаходження площі трикутника за довжинами його сторін:

\[
\begin{align*}
p &= \frac{{АО + АВ + ВО}}{2} \\
p &= \frac{{11.18 + 20 + 20}}{2} \\
p &\approx 25.59 \text{ см}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
S &= \sqrt{p(p-АО)(p-АВ)(p-ВО)} \\
S &= \sqrt{25.59(25.59- 11.18)(25.59-20)(25.59-20)} \\
S &= \sqrt{25.59 \cdot 14.41 \cdot 5.59 \cdot 5.59} \\
S &\approx 85.39 \text{ см}^2
\end{align*}
\]

Таким чином, площа сфери дорівнює приблизно 85.39 квадратних сантиметрів.