0? Какова вероятность того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени?

Olga_5603

26

Для решения этой задачи нам понадобится немного знаний о случайных блужданиях. Случайное блуждание - это модель, которая описывает случайные перемещения частицы в пространстве. В данном случае кузнечик совершает случайные шаги по числовой оси.

Пусть $p$ - вероятность того, что кузнечик шагнет вперед (направо), если он сейчас находится в точке с координатой $x$, и вероятность того, что кузнечик шагнет назад (налево), если он сейчас находится в точке с координатой $x$, обозначим как $q=1-p$.

Задача на поиск вероятности того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени сводится к нахождению вероятности $P$ того, что начав блуждание из точки 0, кузнечик вернется к точке 0.

Вероятность $P$ можно найти следующим образом:

1. Разобьем задачу на несколько подзадач, где будем искать вероятности вернуться к точке 0 за 1, 2, 3 и более шагов.
2. Рассмотрим первый шаг кузнечика. Он может сделать шаг вперед с вероятностью $p$ или шаг назад с вероятностью $q$.
3. Если кузнечик сделал шаг вперед, он оказывается в точке с координатой 1. Тогда он должен вернуться из точки 1 в точку 0. Вероятность этого события обозначим как $P_1$.
4. Если кузнечик сделал шаг назад, он оказывается в точке с координатой -1. И снова мы ищем вероятность вернуться из точки -1 в точку 0. Вероятность этого события обозначим как $P_{-1}$.
5. Таким образом, вероятность $P$ равна $P=p\cdot P_1+q\cdot P_{-1}$.

После первого шага ситуация повторяется - мы снова разбиваем задачу на подзадачи и ищем вероятности вернуться в точку 0 из точек 1 и -1.

Учитывая случай, что начальная точка задачи - это точка 0, то $P_1=P_{-1}$ и обозначим эту вероятность как $P_0$.

Таким образом, $P=p\cdot P_0+q\cdot P_0=(p+q)\cdot P_0=P_0$.

Теперь наша задача сводится к нахождению $P_0$.

Для нахождения $P_0$ мы решим систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}{P}_0=p\cdot P_0+q\cdot P_0\\ p+q=1\end{array}$

Решим первое уравнение:

$P_0=(p+q)\cdot P_0$

$P_0=P_0$

Получается, что $P_0$ может быть любым числом от 0 до 1. Вероятность возвращения кузнечика к точке 0 является достоверной.

Ответ: Вероятность того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени равна 1.