0? Какова вероятность того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени?

Olga_5603

26

Для решения этой задачи нам понадобится немного знаний о случайных блужданиях. Случайное блуждание - это модель, которая описывает случайные перемещения частицы в пространстве. В данном случае кузнечик совершает случайные шаги по числовой оси.

Пусть \(p\) - вероятность того, что кузнечик шагнет вперед (направо), если он сейчас находится в точке с координатой \(x\), и вероятность того, что кузнечик шагнет назад (налево), если он сейчас находится в точке с координатой \(x\), обозначим как \(q = 1 - p\).

Задача на поиск вероятности того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени сводится к нахождению вероятности \(P\) того, что начав блуждание из точки 0, кузнечик вернется к точке 0.

Вероятность \(P\) можно найти следующим образом:

1. Разобьем задачу на несколько подзадач, где будем искать вероятности вернуться к точке 0 за 1, 2, 3 и более шагов.
2. Рассмотрим первый шаг кузнечика. Он может сделать шаг вперед с вероятностью \(p\) или шаг назад с вероятностью \(q\).
3. Если кузнечик сделал шаг вперед, он оказывается в точке с координатой 1. Тогда он должен вернуться из точки 1 в точку 0. Вероятность этого события обозначим как \(P_1\).
4. Если кузнечик сделал шаг назад, он оказывается в точке с координатой -1. И снова мы ищем вероятность вернуться из точки -1 в точку 0. Вероятность этого события обозначим как \(P_{-1}\).
5. Таким образом, вероятность \(P\) равна \(P = p \cdot P_1 + q \cdot P_{-1}\).

После первого шага ситуация повторяется - мы снова разбиваем задачу на подзадачи и ищем вероятности вернуться в точку 0 из точек 1 и -1.

Учитывая случай, что начальная точка задачи - это точка 0, то \(P_1 = P_{-1}\) и обозначим эту вероятность как \(P_0\).

Таким образом, \(P = p \cdot P_0 + q \cdot P_0 = (p+q) \cdot P_0 = P_0\).

Теперь наша задача сводится к нахождению \(P_0\).

Для нахождения \(P_0\) мы решим систему уравнений:

\(\begin{cases} P_0 = p \cdot P_0 + q \cdot P_0 \\ p + q = 1 \end{cases}\)

Решим первое уравнение:

\(P_0 = (p+q) \cdot P_0\)

\(P_0 = P_0\)

Получается, что \(P_0\) может быть любым числом от 0 до 1. Вероятность возвращения кузнечика к точке 0 является достоверной.

Ответ: Вероятность того, что кузнечик окажется в точке с координатой 0 в некоторый момент времени равна 1.