Напишите уравнение линейной функции y=kx+b, график которой проходит через точку m(1, - 9) и точку пересечения графиков

Магнитный_Магистр

59

Конечно! Чтобы найти уравнение линейной функции \(y=kx+b\), проходящей через точку \(m(1, -9)\) и точку пересечения графиков функций \(3x-4y=9\) и \(5x+2y=41\), мы будем использовать следующие шаги.

Шаг 1: Найдем координаты точки пересечения графиков функций \(3x-4y=9\) и \(5x+2y=41\). Для этого решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
3x-4y=9 \\
5x+2y=41 \\
\end{cases}
\]

Для начала, избавимся от переменной \(x\) в обоих уравнениях. Умножим первое уравнение на 5, а второе уравнение на 3:

\[
\begin{cases}
15x-20y=45 \\
15x+6y=123 \\
\end{cases}
\]

Затем вычтем из первого уравнения второе уравнение, чтобы избавиться от \(x\):

\[
\begin{align*}
(15x-20y) - (15x+6y) &= 45 - 123 \\
15x - 20y - 15x - 6y &= -78 \\
-26y &= -78 \\
y &= \frac{-78}{-26} \\
y &= 3 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли, что \(y = 3\). Теперь найдем \(x\) подставив значение \(y\) в любое из оригинальных уравнений. Давайте возьмем первое уравнение \(3x-4y=9\):

\[
\begin{align*}
3x - 4(3) &= 9 \\
3x - 12 &= 9 \\
3x &= 21 \\
x &= \frac{21}{3} \\
x &= 7 \\
\end{align*}
\]

Мы нашли, что \(x = 7\). Значит, координаты точки пересечения равны \(P(7, 3)\).

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть две точки, \(m(1, -9)\) и \(P(7, 3)\), мы можем использовать одну из них, чтобы найти значение наклона \(k\). Пусть мы возьмем точку \(m(1, -9)\). Используя формулу наклона \(\displaystyle k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\), подставим значения точек:

\[
\begin{align*}
k &= \frac{3 - (-9)}{7 - 1} \\
k &= \frac{12}{6} \\
k &= 2 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли, что \(k = 2\).

Шаг 3: У нас также есть значение точки \(m(1, -9)\), которое мы можем использовать для нахождения значения \(b\). Мы можем использовать любую точку, но давайте возьмем \(m(1, -9)\). Подставим значения точки в уравнение \(y = kx + b\):

\[
-9 = 2 \cdot 1 + b
\]

Для того, чтобы найти \(b\), решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
-9 &= 2 + b \\
b &= -11 \\
\end{align*}
\]

Поэтому мы нашли, что \(b = -11\).

Таким образом, уравнение линейной функции \(y = kx + b\) с заданными условиями будет:

\[
y = 2x - 11
\]

Данное уравнение описывает линейную функцию, график которой проходит через точку \(m(1, -9)\) и точку пересечения графиков функций \(3x-4y=9\) и \(5x+2y=41\).