1.а) Какова длина окружности с радиусом 7см? б) Чему равна площадь кругового сектора с углом в 120 градусов и радиусом

Mila

54

1. Решение:
а) Для нахождения длины окружности с радиусом 7см, мы можем использовать формулу \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, а \(r\) - радиус.

Подставляя значения, получаем: \(C = 2\pi \cdot 7 = 14\pi\) см.

Ответ: Длина окружности с радиусом 7см равна \(14\pi\) см.

б) Чтобы найти площадь кругового сектора с углом в 120 градусов и радиусом круга равным 12см, мы используем формулу \(S = \frac{{\text{{угол}}}}{{360}} \cdot \pi r^2\), где \(S\) - площадь кругового сектора.

Подставляя значения, получаем: \(S = \frac{{120}}{{360}} \cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{{1}}{{3}} \cdot 144\pi = 48\pi\) см².

Ответ: Площадь кругового сектора с углом в 120 градусов и радиусом 12см равна \(48\pi\) см².

в) Для нахождения угла дуги окружности с длиной 3π и радиусом 8, мы можем использовать формулу \(S = r \cdot \theta\), где \(S\) - длина дуги, \(r\) - радиус, а \(\theta\) - угол в радианах.

Подставляя значения, получаем: \(3\pi = 8 \cdot \theta\). Делим обе части на 8: \(\frac{{3\pi}}{{8}} = \theta\).

Преобразуем радианы в градусы: \(\theta \approx \frac{{3 \cdot 180}}{{8}} = \frac{{135}}{{2}} = 67.5\) градусов.

Ответ: Угол этой дуги окружности составляет около 67.5 градусов.

2. Решение:
Для определения, вписан ли прямоугольник со сторонами 10см и 24см в окружность, необходимо проверить выполнение условия Pythagoreantheorem. Если диагональ прямоугольника равна диаметру окружности, то прямоугольник вписан в окружность.

Находим диагональ прямоугольника по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{{a^2 + b^2}}\), где \(d\) - диагональ, \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

Подставляем значения, получаем: \(d = \sqrt{{10^2 + 24^2}} = \sqrt{{100 + 576}} = \sqrt{{676}} = 26\) см.

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус, равный половине диагонали, то есть \(r = \frac{{d}}{{2}}\). Подставляем значение диагонали, получаем: \(r = \frac{{26}}{{2}} = 13\) см.

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности. Подставляем значение радиуса, получаем: \(S = \pi \cdot 13^2 = 169\pi\) см².

Ответ: Да, прямоугольник со сторонами 10см и 24см вписан в окружность. Длина окружности равна 26см, а площадь круга равна \(169\pi\) см².

3. Решение:
Для нахождения площади круга и длины окружности, ограничивающей правильный треугольник, нам нужно знать длину стороны треугольника. Зная длину одной стороны, мы можем найти радиус окружности, используя формулу для равностороннего треугольника: \(r = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\), где \(r\) - радиус, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значение стороны, получаем: \(r = \frac{{5}}{{\sqrt{3}}}\) см.

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Подставляя значение радиуса, получаем: \(S = \pi \left(\frac{{5}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 = \frac{{25\pi}}{{3}}\) см².

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi r\). Подставляя значение радиуса, получаем: \(C = 2\pi \cdot \frac{{5}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{10\pi}}{{\sqrt{3}}}\) см.

Ответ: Площадь круга, ограничивающего правильный треугольник со стороной 5см, равна \(\frac{{25\pi}}{{3}}\) см², а длина окружности составляет \(\frac{{10\pi}}{{\sqrt{3}}}\) см.

4. Решение:
Если окружность радиусом 12см описана вокруг правильного четырехугольника, то радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности и приблизительно равен половине стороны четырехугольника.

Зная длину стороны правильного четырехугольника, мы можем найти радиус вписанной окружности. Для правильного четырехугольника, длина стороны равна диаметру описанной окружности.

Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны четырехугольника: \(r = \frac{{d}}{{2}} = \frac{{12}}{{2}} = 6\) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности вокруг правильного четырехугольника, описанной вокруг окружности радиусом 12см, равен 6см.