№1 Check yourself in test form. 1. Which of the following equalities is true? a) cos(180° - a) = sin a b) sin(180°

Ilya

56

Давайте решим эти задачи по очереди.

1. Для первого вопроса нам нужно определить, какое из равенств верное. Мы будем использовать тригонометрические функции (синусы и косинусы) для ответа на этот вопрос.

a) Угол \(180° - a\) является дополнительным углом к углу \(a\). Поэтому, чтобы найти значение косинуса этого угла, мы можем использовать то же самое значение синуса для \(a\). Таким образом, равенство \(cos(180° - a) = sin a\) верно.

b) Угол \(180° - a\) является дополнительным углом к углу \(a\). Поэтому, чтобы найти значение синуса этого угла, мы можем использовать то же самое значение косинуса для \(a\). Таким образом, равенство \(sin(180° - a) = cos a\) верно.

c) Для этого равенства мы не можем использовать свойства дополнительных углов. Таким образом, равенство \(cos(180° - a) = cos a\) неверно.

d) Для этого равенства мы не можем использовать свойства дополнительных углов. Таким образом, равенство \(sin(180° - a) = sin a\) неверно.

Итак, единственное верное равенство это a) \(cos(180° - a) = sin a\).

2. Для второго вопроса нам нужно определить, какое из неравенств верное. Мы будем использовать значения синусов и косинусов углов для ответа на этот вопрос.

a) Углы 100° и 110° лежат в одной полуплоскости относительно оси \(Ox\) (т.к. они оба больше 90°). Поэтому произведение \(\sin 100°\) и \(\cos 110°\) будет положительным числом. Таким образом, неравенство \(sin 100° cos 110° > 0\) верно.

b) Углы 100° и 110° лежат в одной полуплоскости относительно оси \(Ox\). Поэтому произведение \(\sin 100°\) и \(\cos 110°\) также будет положительным числом. Таким образом, неравенство \(sin 100° cos 110° < 0\) неверно.

c) Произведение \(\sin 100°\) и \(\cos 10°\) будет положительным числом, так как оба угла лежат в одной полуплоскости относительно оси \(Ox\). Таким образом, неравенство \(sin 100° cos 10° < 0\) неверно.

d) Произведение \(\sin 100°\) и \(\cos 90°\) будет равно нулю, так как \(\cos 90° = 0\), а угол 100° лежит на оси \(Ox\) и его синус равен 1. Таким образом, неравенство \(sin 100° cos 90° - 0\) неверно.

Итак, единственное верное неравенство это a) \(sin 100° cos 110° > 0\).

3. Для третьего вопроса мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

где \(a\) и \(b\) - длины известных сторон треугольника, \(c\) - длина третьей стороны, \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

В данной задаче у нас уже известны \(a = 3\) см и \(b = 8\) см, а также \(C = 120°\). Подставим эти значения в формулу и решим уравнение для \(c\):

\[c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 120°\]

\[c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \cos 120°\]

\[c^2 = 73 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 73 + 24\]

\[c^2 = 97\]

\[c = \sqrt{97}\]

Таким образом, значение третьей стороны треугольника равно \(\sqrt{97}\) см.

Ответ: а) 97 см.