1. Чему равны значения функции f(5) и f(-1), если f(x) задана формулой f(x) = x^2/5 - 6x? 2. Найдите, в каком диапазоне

Фонтан

26

1. Чтобы найти значения функции \(f(5)\) и \(f(-1)\) по заданной формуле \(f(x) = \frac{x^2}{5} - 6x\), мы должны подставить соответствующие значения \(x\) вместо переменной \(x\) в формулу и вычислить результаты.

a) Для \(f(5)\):
\[f(5) = \frac{5^2}{5} - 6 \cdot 5 = \frac{25}{5} - 30 = 5 - 30 = -25.\]

b) Для \(f(-1)\):
\[f(-1) = \frac{(-1)^2}{5} - 6 \cdot (-1) = \frac{1}{5} + 6 = \frac{1+30}{5} = \frac{31}{5}.\]

Таким образом, \(f(5) = -25\) и \(f(-1) = \frac{31}{5}\).

2. Чтобы определить диапазон значений функции \(f(x) = \frac{x + 6}{x^2 - 3x - 4}\), мы должны исследовать область значений знаменателя и исключить значения, при которых он равен нулю.

Для начала, найдем корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Мы можем решить это уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение.

Факторизация даст нам \((x - 4)(x + 1) = 0\), и корни уравнения равны \(x = 4\) и \(x = -1\).

Корни \(x = 4\) и \(x = -1\) являются вершинами диапазона, где функция \(f(x)\) не определена. Значит, мы должны исключить эти значения из области определения.

Таким образом, диапазон значений функции \(f(x) = \frac{x + 6}{x^2 - 3x - 4}\) состоит из всех значений \(y\), кроме \(y = 4\) и \(y = -1\).

3. Построим график функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) и используем его для нахождения требуемых значений:

а) Чтобы найти область значений функции, мы должны определить, какие значения \(y\) функция может принимать. На графике видно, что парабола \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) направлена вверх, поэтому наименьшее значение \(y\) находится в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы, используя формулу \(x = \frac{-b}{2a}\) и \(-D\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Для \(f(x) = x^2 - 8x + 7\), \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 7\).

\[x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4.\]

Теперь найдем значение \(y\) в точке \(x = 4\) подставив его в уравнение \(f(x)\):

\[f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9.\]

Таким образом, область значений функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) является множеством всех значений \(y\), кроме \(y \leq -9\).

б) Чтобы найти интервал, на котором функция возрастает, мы должны определить, на каком участке графика \(x\) функция \(f(x)\) растет. На графике видно, что функция возрастает на интервале от вершины параболы до бесконечности вправо. Таким образом, интервал, на котором функция \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) возрастает, это \(x \geq 4\).

в) Чтобы найти множество решений неравенства \(f(x) > 0\), мы должны найти интервалы на графике, где функция \(f(x)\) положительна. На графике видно, что функция положительна на интервалах между корнями параболы. Из предыдущего ответа мы знаем, что корни параболы находятся при \(x = 4\) и \(x = \frac{3}{2}\), поэтому множество решений неравенства \(f(x) > 0\) это \((-\infty, \frac{3}{2}) \cup (4, +\infty)\).

4. Построим графики функций \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) и \(f(x) = \sqrt{x + 2}\).

a) График функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) будет выглядеть так:

б) График функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) будет выглядеть так:

5. Чтобы определить диапазон значений функции \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 36}\), мы должны исследовать область значений знаменателя и исключить значения, при которых он равен нулю.

Для начала, найдем корни уравнения \(x^2 - 36 = 0\). Мы можем решить это уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение.

Факторизация даст нам \((x - 6)(x + 6) = 0\), и корни уравнения равны \(x = 6\) и \(x = -6\).

Корни \(x = 6\) и \(x = -6\) являются вершинами диапазона, где функция \(f(x)\) не определена. Значит, мы должны исключить эти значения из области определения.

Таким образом, диапазон значений функции \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 36}\) состоит из всех значений \(y\), кроме \(y = 6\) и \(y = -6\).

6. Чтобы найти значения \(b\) и \(c\), при которых вершина параболы \(y = -4x^2 + bx + c\) находится в точке, нам нужно использовать формулы для координат вершины параболы.

Формула для \(x\)-координаты вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\)

Так как у нас есть парабола \(y = -4x^2 + bx + c\), где \(a = -4\), \(b\) и \(c\) - неизвестные.

Таким образом, \(x = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} = \frac{b}{8}\).

Теперь найдем значения \(b\) и \(c\), при которых вершина параболы находится в точке \((x, y) = (1, 2)\).

Подставим значения координат вершины в уравнение параболы:

\(2 = -4 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\).

Упростив это уравнение, мы получим:

\(2 = -4 + b + c\).

Таким образом, уравнение \(b + c = 6\) является дополнительным уравнением, которое поможет нам найти значения \(b\) и \(c\). Однако, без еще одного уравнения или условия, мы не сможем однозначно определить значения \(b\) и \(c\).

Мы можем предположить значения для \(b\) и \(c\), и затем использовать уравнение \(b + c = 6\), чтобы проверить нашу гипотезу. Например, если мы предположим, что \(b = 2\) и \(c = 4\), то уравнение \(b + c = 6\) выполняется.