Какие из следующих утверждений являются верными? 1. (a−−√)2=aa∈R 2. a−−√+b√=a+b−−−−√ 3. a⋅a−−−−√=a,a≥0 4. a−−√2=a,a≥0

Petrovich_4211

59

Давайте посмотрим на каждое утверждение по очереди и определим, верно оно или нет.

1. (a−−√)2=aa∈R: Это утверждение верно. Для подтверждения этого утверждения нужно применить правило раскрытия скобок. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня являются взаимообратными операциями. Таким образом, \((a−−√)^2 = (a−−√) ⋅ (a−−√) = (a ⋅ a)−−√ = a^2\), что действительно равно \(aa∈R\).

2. a−−√+b√=a+b−−−−√: Это утверждение неверно. Мы не можем просто сложить корни, если они не имеют одинакового основания и показателя степени. Попробуем это проиллюстрировать на примере: \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) нельзя просто сложить, это остается в виде \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).

3. a⋅a−−−−√=a,a≥0: Это утверждение тоже неверно. Умножение корня на самого себя не равно исходному корню, кроме случая, когда исходное число \(a\) является положительным. Если \(a < 0\), то \(a⋅a−−√\) становится комплексным числом, а не просто \(a\).

4. a−−√2=a,a≥0: Это утверждение верно. Если возвести в квадрат квадратный корень из неотрицательного числа \(a\), то получим исходное число. Другими словами, \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a ≥ 0\).

5. a−−√:b√=a:b−−−−√: Это утверждение тоже не верно. Деление квадратного корня на корень только возможно, если оба корня имеют одинаковое основание и показатель степени. В противном случае, эти корни не могут быть просто разделены.

Суммируя, верными являются только утверждения 1 и 4 из предложенных.