1. Что нужно найти в прогрессии, в которой значение первого члена (b^1) равно 810, а знаменатель (q) равен -1/3?

Pushistik

67

1. Для нахождения искомого значения в прогрессии, где первый член равен 810, а знаменатель равен -1/3, нам необходимо использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена прогрессии, \(b_1\) - значение первого члена прогрессии, \(q\) - знаменатель (значение, на которое умножается каждый следующий член прогрессии), \(n\) - номер члена прогрессии.

Для данной задачи, мы знаем, что \(b_1 = 810\) и \(q = -1/3\). Нам нужно найти \(a_1\) (значение первого члена). Подставляем все значения в формулу:

\[a_1 = 810 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(1-1)}\]

Упрощаем выражение:

\[a_1 = 810 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{0}\]

Так как любое число, возводимое в степень 0, равно 1, получаем:

\[a_1 = 810 \cdot 1\]

Ответ: значение первого члена прогрессии \(a_1\) равно 810.

2. Чтобы найти сумму первых восьми членов прогрессии, где первый член равен 9, а знаменатель равен -1/3, мы будем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Для данной задачи, мы знаем, что \(b_1 = 9\) и \(q = -1/3\). Нам нужно найти \(S_8\) (сумму первых восьми членов). Подставляем все значения в формулу:

\[S_8 = \frac{9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^8 - 1}{-\frac{1}{3} - 1}\]

Вычисляем значение в числителе:

\[\left(-\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}\]

Подставляем значение в формулу:

\[S_8 = \frac{9 \cdot \frac{1}{6561} - 1}{-\frac{1}{3} - 1}\]

Упрощаем выражение:

\[S_8 = \frac{\frac{9}{6561} - 1}{-\frac{4}{3}}\]

\[S_8 = \frac{\frac{9 - 6561}{6561}}{-\frac{4}{3}}\]

\[S_8 = \frac{-6552}{6561} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\]

\[S_8 = \frac{-6552}{6561} \cdot \frac{-3}{4}\]

Сокращаем дробь:

\[S_8 = \frac{36}{3} = 12\]

Ответ: сумма первых восьми членов прогрессии \(S_8\) равна 12.

3. Для нахождения значения первого члена прогрессии \(b_1\), если седьмой член равен 162, а знаменатель \(q\) является корнем из 3, мы начинаем с формулы общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Известно, что \(a_7 = 162\) и \(q = \sqrt{3}\). Нам необходимо найти \(b_1\). Подставляем все значения в формулу:

\[a_7 = b_1 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^{(7-1)}\]

Упрощаем выражение:

\[162 = b_1 \cdot 3^3\]

Вычисляем значение в правой части:

\[3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\]

Подставляем значение в выражение:

\[162 = b_1 \cdot 27\]

Для того чтобы найти \(b_1\), делим обе части уравнения на 27:

\[\frac{162}{27} = \frac{b_1 \cdot 27}{27}\]

Упрощаем выражение:

\[6 = b_1\]

Ответ: первый член прогрессии \(b_1\) равен 6.