1. Что нужно найти в прогрессии, в которой значение первого члена (b^1) равно 810, а знаменатель (q) равен -1/3?

Pushistik

67

1. Для нахождения искомого значения в прогрессии, где первый член равен 810, а знаменатель равен -1/3, нам необходимо использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=b_1\cdot q^{(n-1)}$$

где $a_n$ - значение $n$-го члена прогрессии, $b_1$ - значение первого члена прогрессии, $q$ - знаменатель (значение, на которое умножается каждый следующий член прогрессии), $n$ - номер члена прогрессии.

Для данной задачи, мы знаем, что $b_1=810$ и $q=-1/3$. Нам нужно найти $a_1$ (значение первого члена). Подставляем все значения в формулу:

$$a_1=810\cdot {(-\frac{1}{3})}^{(1-1)}$$

Упрощаем выражение:

$$a_1=810\cdot {(-\frac{1}{3})}^0$$

Так как любое число, возводимое в степень 0, равно 1, получаем:

$$a_1=810\cdot 1$$

Ответ: значение первого члена прогрессии $a_1$ равно 810.

2. Чтобы найти сумму первых восьми членов прогрессии, где первый член равен 9, а знаменатель равен -1/3, мы будем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1\cdot (q^n-1)}{q-1}$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии.

Для данной задачи, мы знаем, что $b_1=9$ и $q=-1/3$. Нам нужно найти $S_8$ (сумму первых восьми членов). Подставляем все значения в формулу:

$$S_8=\frac{9\cdot {(-\frac{1}{3})}^8-1}{-\frac{1}{3}-1}$$

Вычисляем значение в числителе:

$${(-\frac{1}{3})}^8=\frac{1}{3^8}=\frac{1}{6561}$$

Подставляем значение в формулу:

$$S_8=\frac{9\cdot \frac{1}{6561}-1}{-\frac{1}{3}-1}$$

Упрощаем выражение:

$$S_8=\frac{\frac{9}{6561}-1}{-\frac{4}{3}}$$

$$S_8=\frac{\frac{9-6561}{6561}}{-\frac{4}{3}}$$

$$S_8=\frac{-6552}{6561}\cdot (-\frac{3}{4})$$

$$S_8=\frac{-6552}{6561}\cdot \frac{-3}{4}$$

Сокращаем дробь:

$$S_8=\frac{36}{3}=12$$

Ответ: сумма первых восьми членов прогрессии $S_8$ равна 12.

3. Для нахождения значения первого члена прогрессии $b_1$, если седьмой член равен 162, а знаменатель $q$ является корнем из 3, мы начинаем с формулы общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n=b_1\cdot q^{(n-1)}$$

Известно, что $a_7=162$ и $q=\sqrt{3}$. Нам необходимо найти $b_1$. Подставляем все значения в формулу:

$$a_7=b_1\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^{(7-1)}$$

Упрощаем выражение:

$$162=b_1\cdot 3^3$$

Вычисляем значение в правой части:

$$3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$$

Подставляем значение в выражение:

$$162=b_1\cdot 27$$

Для того чтобы найти $b_1$, делим обе части уравнения на 27:

$$\frac{162}{27}=\frac{b_1\cdot 27}{27}$$

Упрощаем выражение:

$$6=b_1$$

Ответ: первый член прогрессии $b_1$ равен 6.