Сколько существует целых значений x, которые удовлетворяют неравенству: x^2 - 3x < 4? Просьба предоставить подробный

Viktorovna

25

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

Неравенство, которое дано, выглядит следующим образом: \( x^2 - 3x < 4 \).

Для начала, приведем неравенство к более удобному виду. Перенесем все элементы в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Таким образом, неравенство будет выглядеть как: \( x^2 - 3x - 4 < 0 \).

Теперь определим, какое значение x удовлетворяет этому квадратному неравенству. Используем метод интервалов.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
Мы можем решить это уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение.
Если мы факторизуем, то получаем: \( (x - 4)(x + 1) = 0 \).
Отсюда получаем два корня: x = 4 и x = -1.

Шаг 2: Построим неравенство на числовой оси, используя найденные корни.
x = -1 ──────── x = 4
Теперь мы можем разбить числовую ось на три интервала: (-бесконечность, -1), (-1, 4) и (4, +бесконечность).

Шаг 3: Выбираем тестовую точку из каждого интервала и проверяем значения в исходном неравенстве.

- Возьмем какую-нибудь точку из интервала (-бесконечность, -1), например, x = -2:
Подставляем x = -2 в исходное неравенство:
\( (-2)^2 - 3(-2) - 4 < 0 \)
Решаем данное уравнение:
\( 4 + 6 - 4 < 0 \)
\( 6 < 0 \)
Условие не выполнено, так как 6 не меньше нуля.

- Возьмем точку из интервала (-1, 4), например, x = 0:
Подставляем x = 0 в исходное неравенство:
\( 0^2 - 3(0) - 4 < 0 \)
Решаем данное уравнение:
\( -4 < 0 \)
Условие выполнено, так как -4 меньше нуля.

- Возьмем точку из интервала (4, +бесконечность), например, x = 5:
Подставляем x = 5 в исходное неравенство:
\( 5^2 - 3(5) - 4 < 0 \)
Решаем данное уравнение:
\( 25 - 15 - 4 < 0 \)
\( 6 < 0 \)
Условие не выполнено, так как 6 не меньше нуля.

Таким образом, только один интервал выполняет условие истинности исходного неравенства, а именно интевал (-1, 4).

Теперь определим, сколько целых значений x попадают в этот интервал.
В данном случае имеем интервал от -1 до 4, не включая крайние значения.
Это означает, что все целые значения x между -1 и 4, включая сам -1 и 4, являются решениями данного неравенства.

Таким образом, количество целых значений x, которые удовлетворяют данному неравенству, равно 4 (x = -1, 0, 1, 2).

Надеюсь, эта подробная пошаговая информация помогла вам разобраться в решении задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь и задавайте!