Каково расстояние от точки D до плоскости α в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с основанием ABCD, если AB=9

Zhemchug

61

Для начала, давайте разберемся в геометрической конфигурации, описанной в задаче. У нас есть правильная четырехугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, где AB = 9. Через середины ребер AB и AD проведем плоскость, обозначим ее как \(\alpha\). Наша задача состоит в определении расстояния от точки D до плоскости \(\alpha\).

Для того чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся следующими свойствами:

1. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
2. Любую плоскость можно задать уравнением вида \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B, C и D - некоторые числа.

Итак, давайте найдем уравнение плоскости \(\alpha\). Мы знаем, что \(\alpha\) проходит через середины ребер AB и AD, а также через точку M. Обозначим середины ребер AB и AD как E и F соответственно.

Так как E - середина ребра AB, то координаты точки E будут равны средним значениям координат точек A и B. Рассматривая систему координат, в которой верхний базис находится в точке M, мы можем представить вершины A и B следующим образом:

A: \((0, 0, \sqrt{9^2 - (\frac{9}{2})^2}) = (0, 0, \frac{9\sqrt{7}}{2})\)
B: \((9, 0, \sqrt{9^2 - (\frac{9}{2})^2}) = (9, 0, \frac{9\sqrt{7}}{2})\)

Таким образом, координаты точки E будут:
E: \((\frac{9}{2}, 0, \frac{9\sqrt{7}}{2})\)

Аналогично, координаты точки F можно найти как среднее значение координат точек A и D. Вершины А и D можно представить следующим образом:

A: \((0, 0, \frac{9\sqrt{7}}{2})\)
D: \((0, 9, 0)\)

Таким образом, координаты точки F будут:
F: \((0, \frac{9}{2}, \frac{9\sqrt{7}}{4})\)

Используя точки E и F, мы можем выразить уравнение плоскости \(\alpha\):

\(((x-0) \cdot (0-\frac{9}{2}) + (y-0) \cdot (\frac{9}{2}-\frac{9}{2}) + (z - \frac{9\sqrt{7}}{2}) \cdot (\frac{9\sqrt{7}}{4} - \frac{9\sqrt{7}}{2})) = 0\)

\(-\frac{9}{2}x - \frac{9\sqrt{7}}{8}z - \frac{9}{2}z + \frac{63}{2}\sqrt{7} = 0\)

\(-9x - 9\sqrt{7}z - 18z + 63\sqrt{7} = 0\)

Отсюда мы можем найти коэффициенты A, B, C и D для уравнения плоскости \(\alpha\):

A = -9
B = 0
C = -9\sqrt{7}
D = -63\sqrt{7}

Теперь у нас есть уравнение плоскости \(\alpha\): \(-9x - 9\sqrt{7}z - 18z + 63\sqrt{7} = 0\).

Следующим шагом будет определение расстояния от точки D до плоскости \(\alpha\). Для этого мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости, которая выглядит следующим образом:

\(d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Подставим значения коэффициентов A, B, C и D в эту формулу и получим:

\(d = \frac{|-9 \cdot 0 - 9\sqrt{7} \cdot 9 - 18 \cdot 0 + 63\sqrt{7}|}{\sqrt{(-9)^2 + 0^2 + (-9\sqrt{7})^2}}\)

\(d = \frac{567\sqrt{7}}{\sqrt{81 + 567}}\)

\(d = \frac{567\sqrt{7}}{\sqrt{648}}\)

\(d = \frac{567\sqrt{7}}{18}\)

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{567\sqrt{7}}{18}\) или примерно 53,02.

Итак, полученное расстояние составляет примерно 53,02 единицы длины.