1. докажите, что для всех значений р первое выражение 3р(6р-5) всегда меньше второго выражения (9р-5)(2р-1

Izumrudnyy_Pegas_7669

17

Давайте начнем с первой задачи.

1. Доказательство неравенства:
Нам нужно доказать, что для всех значений \(р\) первое выражение \(3р(6р-5)\) всегда меньше второго выражения \((9р-5)(2р-1)\).

Для начала, разложим оба выражения:
\[3р(6р-5)\] разбивается на два слагаемых: \(3р \cdot 6р\) и \(3р \cdot -5\), что равно \(18р^2 - 15р\).
\((9р-5)(2р-1)\) разбивается на четыре слагаемых: \(9р \cdot 2р\), \(9р \cdot -1\), \(-5 \cdot 2р\) и \(-5 \cdot -1\), что равно \(18р^2 - 9р - 10р + 5\), что можно упростить до \(18р^2 - 19р + 5\).

Теперь у нас есть два выражения: \(18р^2 - 15р\) и \(18р^2 - 19р + 5\). Чтобы доказать, что первое выражение всегда меньше второго, докажем, что разность \(18р^2 - 15р - (18р^2 - 19р + 5)\) всегда положительна (больше нуля).

Выполним вычитание:
\(18р^2 - 15р - 18р^2 + 19р - 5\) равно \(4р - 5\).

Таким образом, мы должны доказать, что \(4р - 5 > 0\) для всех значений \(\р\).

Решим неравенство:
\(4р - 5 > 0\)
\(4р > 5\)
\(р > \frac{5}{4}\)

Получается, что неравенство \(4р - 5 > 0\) будет выполняться, если \(р > \frac{5}{4}\).

Таким образом, мы доказали, что для всех значений \(р > \frac{5}{4}\) первое выражение \(3р(6р-5)\) всегда меньше второго выражения \((9р-5)(2р-1)\).

Теперь перейдем к второй задаче.

2. Проверка неравенства:
Задача состоит в том, чтобы проверить, верно ли неравенство \((2у-1)(2у+1) < 4у(у+1)\) для всех значений \(у\).

Для начала, разложим оба выражения:
\((2у-1)(2у+1)\) разбивается на четыре слагаемых: \(2у \cdot 2у\), \(2у \cdot 1\), \(-1 \cdot 2у\) и \(-1 \cdot 1\), что равно \(4у^2 - 2у - 2у + 1\), что можно упростить до \(4у^2 - 4у + 1\).
\(4у(у+1)\) разбивается на два слагаемых: \(4у \cdot у\) и \(4у \cdot 1\), что равно \(4у^2 + 4у\).

Теперь у нас есть два выражения: \(4у^2 - 4у + 1\) и \(4у^2 + 4у\). Чтобы проверить неравенство, вычтем из первого выражения второе и проверим, что разность всегда положительна (больше нуля).

Выполним вычитание:
\(4у^2 - 4у + 1 - (4у^2 + 4у)\) равно \(-8у + 1\).

Мы должны проверить, что \(-8у + 1 > 0\) для всех значений \(у\).

Решим неравенство:
\(-8у + 1 > 0\)
\(-8у > -1\)
\(у < \frac{1}{8}\)

Получается, что неравенство \(-8у + 1 > 0\) будет выполняться, если \(у < \frac{1}{8}\).

Таким образом, мы доказали, что неравенство \((2у-1)(2у+1) < 4у(у+1)\) верно для всех значений \(у < \frac{1}{8}\).