1) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и точку M - середину ребра SC треугольной пирамиды SABC, делит

  • 23
1) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и точку M - середину ребра SC треугольной пирамиды SABC, делит отрезок SO в отношении 3 : 1, относительно вершины S.

2) Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, которая проходит через прямую AB и точку H - середину высоты SH пирамиды. Пусть K - точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB : AS = 1.
Ледяная_Сказка
30
Задача 1:
Для начала, будем обозначать векторы заглавными буквами, а их модули и направления - соответственно строчными буквами.
Пусть AO=a, AB=b, AM=m, AS=s.
Также, пусть SC=c и SM=m1.

Поскольку точка M - середина ребра SC, то вектор SM равен половине вектора SC:
m1=c2.
Также, вектор AB можно разложить на два вектора: AS и SB:
AB=AS+SB.

Из условия задачи, плоскость проходит через прямую AB и точку M.
То есть векторы AB и AM лежат в этой плоскости.
Следовательно, векторное произведение векторов AB и AM равно нулю:
AB×AM=0.

Распишем это векторное произведение:
AB×AM=(AS+SB)×AM.

С помощью свойства дистрибутивности векторного произведения относительно суммы, получаем:
AB×AM=(AS×AM)+(SB×AM).

Так как векторные произведения AS×AM и SB×AM являются коллинеарными, их сумма равна нулю:
(AS×AM)+(SB×AM)=0.

Теперь подставим значения векторов:
(AS×AM)+(SB×AM)=(AS×c2)+(SB×c2)=c2×AS+c2×SB.

Пользуясь свойством дистрибутивности векторного произведения относительно умножения на скаляр, получаем:
c2×AS+c2×SB=12(c×AS+c×SB).

Так как c×AS=AS×c и c×SB=SB×c, то:
12(c×AS+c×SB)=12(AS×cSB×c).

Меняем знак векторного произведения:
12(AS×cSB×c)=12(AS×c+SB×c).

Сворачиваем минусы внутри векторного произведения:
12(AS×c+SB×c)=12(AS×c+SB×c).

Теперь заметим, что AS×c=c×AS и SB×c=c×SB:
12(AS×c+SB×c)=12(c×ASc×SB).

Из свойства антикоммутативности векторного произведения, получаем:
12(c×ASc×SB)=12(SB×c+AS×c).

Используем свойство коммутативности векторного произведения:
12(SB×c+AS×c)=12(c×SB+c×AS).

Снова применяем свойство дистрибутивности:
12(c×SB+c×AS)=12(SB+AS)×c.

Но SB+AS=AB, поэтому:
12(SB+AS)×c=12AB×c.

По определению векторного произведения, получаем:
12AB×c=12(ABc)SO12(ABSO)c.

Здесь ABc - скалярное произведение векторов AB и c, а ABSO - скалярное произведение векторов AB и SO.
Поскольку плоскость делит отрезок SO в отношении 3:1 соответственно, то:
ABSO=3(ASSO).

Заменяем вектор AB на его разложение:
AB=AS+SB,
и используем свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:
ABSO=(AS+SB)SO=ASSO+SBSO.

Поэтому:
ABSO=3(ASSO)=3(ASSO+SBSO).

Аналогично, ABc=3(ASc).

Теперь вернемся к равенству:
12AB×c=12(ABc)SO12(ABSO)c.

Подставим полученные значения:
12AB×c=123(ASc)SO123(ASSO)c.

Сократим коэффициент 3:
12AB×c=32(ASc)SO32(ASSO)c.

Из обратимости векторного произведения следует, что AB×c=c×AB:
c×AB=32(ASc)SO32(ASSO)c.

Заменим вектор SO на OS:
c×AB=32(ASc)(OS)32(AS(OS))c.

Проверим равенство векторов:
c×AB=32(ASc)(OS)32(AS(OS))c.

Домножим скалярное произведение на вектор OS:
c×AB=32(ASc)(OS)32(AS(OS))c.

Упростим скалярное произведение векторов:
c×AB=32(ASOS)(OS)32(ASOS)c.

Используя свойства антикоммутативности скалярного произведения, получаем:
c×AB=32(ASOS)OS32(ASOS)c.

Теперь выполняем раскрытие скобок и объединение подобных слагаемых:
c×AB=32(ASOS)OS32(ASOS)c.

Сгруппируем слагаемые с вектором OS:
c×AB=32(ASOS)(OSc).

Посмотрим на треугольник, получившийся в результате деления отрезка SO плоскостью, содержащей прямую AB и точку M.
Из геометрии известно, что AS - медиана треугольника SOB, а значит, AS делит сторону OB в отношении 2:1.
Так как треугольник равносторонний, то OB=3AS.
Следовательно, вектор OS=3AS, а OSc=3ASc=AS.

Наконец, получаем:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \cdot (-\vec{AS}) = -\frac{3}{2} \left(\