1) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и точку M - середину ребра SC треугольной пирамиды SABC, делит

Ледяная_Сказка

30

Задача 1:
Для начала, будем обозначать векторы заглавными буквами, а их модули и направления - соответственно строчными буквами.
Пусть \(\vec{AO} = \vec{a}\), \(\vec{AB} = \vec{b}\), \(\vec{AM} = \vec{m}\), \(\vec{AS} = \vec{s}\).
Также, пусть \(\vec{SC} = \vec{c}\) и \(\vec{SM} = \vec{m_1}\).

Поскольку точка \(M\) - середина ребра \(SC\), то вектор \(\vec{SM}\) равен половине вектора \(\vec{SC}\):
\[\vec{m_1} = \frac{\vec{c}}{2}\].
Также, вектор \(\vec{AB}\) можно разложить на два вектора: \(\vec{AS}\) и \(\vec{SB}\):
\[\vec{AB} = \vec{AS} + \vec{SB}\].

Из условия задачи, плоскость проходит через прямую \(AB\) и точку \(M\).
То есть векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\) лежат в этой плоскости.
Следовательно, векторное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\) равно нулю:
\[\vec{AB} \times \vec{AM} = \vec{0}\].

Распишем это векторное произведение:
\[\vec{AB} \times \vec{AM} = (\vec{AS} + \vec{SB}) \times \vec{AM}.\]

С помощью свойства дистрибутивности векторного произведения относительно суммы, получаем:
\[\vec{AB} \times \vec{AM} = (\vec{AS} \times \vec{AM}) + (\vec{SB} \times \vec{AM}).\]

Так как векторные произведения \(\vec{AS} \times \vec{AM}\) и \(\vec{SB} \times \vec{AM}\) являются коллинеарными, их сумма равна нулю:
\[(\vec{AS} \times \vec{AM}) + (\vec{SB} \times \vec{AM}) = \vec{0}.\]

Теперь подставим значения векторов:
\[(\vec{AS} \times \vec{AM}) + (\vec{SB} \times \vec{AM}) = \left(\vec{AS} \times \frac{\vec{c}}{2}\right) + \left(\vec{SB} \times \frac{\vec{c}}{2}\right) = \frac{\vec{c}}{2} \times \vec{AS} + \frac{\vec{c}}{2} \times \vec{SB}.\]

Пользуясь свойством дистрибутивности векторного произведения относительно умножения на скаляр, получаем:
\[\frac{\vec{c}}{2} \times \vec{AS} + \frac{\vec{c}}{2} \times \vec{SB} = \frac{1}{2} \left(\vec{c} \times \vec{AS} + \vec{c} \times \vec{SB}\right).\]

Так как \(\vec{c} \times \vec{AS} = -\vec{AS} \times \vec{c}\) и \(\vec{c} \times \vec{SB} = -\vec{SB} \times \vec{c}\), то:
\[\frac{1}{2} \left(\vec{c} \times \vec{AS} + \vec{c} \times \vec{SB}\right) = \frac{1}{2} \left(-\vec{AS} \times \vec{c} -\vec{SB} \times \vec{c}\right).\]

Меняем знак векторного произведения:
\[\frac{1}{2} \left(-\vec{AS} \times \vec{c} -\vec{SB} \times \vec{c}\right) = \frac{1}{2} \left(\vec{AS} \times -\vec{c} + \vec{SB} \times -\vec{c}\right).\]

Сворачиваем минусы внутри векторного произведения:
\[\frac{1}{2} \left(\vec{AS} \times -\vec{c} + \vec{SB} \times -\vec{c}\right) = \frac{1}{2} \left(\vec{AS} \times \vec{c} + \vec{SB} \times \vec{c}\right).\]

Теперь заметим, что \(\vec{AS} \times \vec{c} = - \vec{c} \times \vec{AS}\) и \(\vec{SB} \times \vec{c} = - \vec{c} \times \vec{SB}\):
\[\frac{1}{2} \left(\vec{AS} \times \vec{c} + \vec{SB} \times \vec{c}\right) = \frac{1}{2} \left(- \vec{c} \times \vec{AS} - \vec{c} \times \vec{SB}\right).\]

Из свойства антикоммутативности векторного произведения, получаем:
\[\frac{1}{2} \left(- \vec{c} \times \vec{AS} - \vec{c} \times \vec{SB}\right) = \frac{1}{2} \left(\vec{SB} \times \vec{c} + \vec{AS} \times \vec{c}\right).\]

Используем свойство коммутативности векторного произведения:
\[\frac{1}{2} \left(\vec{SB} \times \vec{c} + \vec{AS} \times \vec{c}\right) = \frac{1}{2} \left(\vec{c} \times \vec{SB} + \vec{c} \times \vec{AS}\right).\]

Снова применяем свойство дистрибутивности:
\[\frac{1}{2} \left(\vec{c} \times \vec{SB} + \vec{c} \times \vec{AS}\right) = \frac{1}{2} \left(\vec{SB} + \vec{AS}\right) \times \vec{c}.\]

Но \(\vec{SB} + \vec{AS} = \vec{AB}\), поэтому:
\[\frac{1}{2} \left(\vec{SB} + \vec{AS}\right) \times \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{c}.\]

По определению векторного произведения, получаем:
\[\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{c} = \frac{1}{2} \left(\vec{AB} \cdot \vec{c}\right) \vec{SO} - \frac{1}{2} \left(\vec{AB} \cdot \vec{SO}\right) \vec{c}.\]

Здесь \(\vec{AB} \cdot \vec{c}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{c}\), а \(\vec{AB} \cdot \vec{SO}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{SO}\).
Поскольку плоскость делит отрезок \(SO\) в отношении 3:1 соответственно, то:
\[\vec{AB} \cdot \vec{SO} = 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO}\right).\]

Заменяем вектор \(\vec{AB}\) на его разложение:
\[\vec{AB} = \vec{AS} + \vec{SB},\]
и используем свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:
\[\vec{AB} \cdot \vec{SO} = \left(\vec{AS} + \vec{SB}\right) \cdot \vec{SO} = \vec{AS} \cdot \vec{SO} + \vec{SB} \cdot \vec{SO}.\]

Поэтому:
\[\vec{AB} \cdot \vec{SO} = 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO}\right) = 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO} + \vec{SB} \cdot \vec{SO}\right).\]

Аналогично, \(\vec{AB} \cdot \vec{c} = 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right)\).

Теперь вернемся к равенству:
\[\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{c} = \frac{1}{2} \left(\vec{AB} \cdot \vec{c}\right) \vec{SO} - \frac{1}{2} \left(\vec{AB} \cdot \vec{SO}\right) \vec{c}.\]

Подставим полученные значения:
\[\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{c} = \frac{1}{2} \cdot 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \vec{SO} - \frac{1}{2} \cdot 3 \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO}\right) \vec{c}.\]

Сократим коэффициент 3:
\[\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{c} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \vec{SO} - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO}\right) \vec{c}.\]

Из обратимости векторного произведения следует, что \(\vec{AB} \times \vec{c} = -\vec{c} \times \vec{AB}\):
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \vec{SO} - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{SO}\right) \vec{c}.\]

Заменим вектор \(\vec{SO}\) на \(-\vec{OS}\):
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \left(-\vec{OS}\right) - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \left(-\vec{OS}\right)\right) \vec{c}.\]

Проверим равенство векторов:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \left(-\vec{OS}\right) - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \left(-\vec{OS}\right)\right) \vec{c}.\]

Домножим скалярное произведение на вектор \(-\vec{OS}\):
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{c}\right) \left(-\vec{OS}\right) - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \left(-\vec{OS}\right)\right) \vec{c}.\]

Упростим скалярное произведение векторов:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(-\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \left(-\vec{OS}\right) - \frac{3}{2} \left(-\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \vec{c}.\]

Используя свойства антикоммутативности скалярного произведения, получаем:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \vec{OS} - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \vec{c}.\]

Теперь выполняем раскрытие скобок и объединение подобных слагаемых:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \vec{OS} - \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \vec{c}.\]

Сгруппируем слагаемые с вектором \(\vec{OS}\):
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \left(\vec{OS} - \vec{c}\right).\]

Посмотрим на треугольник, получившийся в результате деления отрезка \(SO\) плоскостью, содержащей прямую \(AB\) и точку \(M\).
Из геометрии известно, что \(AS\) - медиана треугольника \(SOB\), а значит, \(AS\) делит сторону \(OB\) в отношении 2:1.
Так как треугольник равносторонний, то \(OB = 3 \cdot AS\).
Следовательно, вектор \(\vec{OS} = -3 \cdot \vec{AS}\), а \(\vec{OS} - \vec{c} = -3 \cdot \vec{AS} - \vec{c} = -\vec{AS}\).

Наконец, получаем:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \cdot (-\vec{AS}) = -\frac{3}{2} \left(\