1) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и точку M - середину ребра SC треугольной пирамиды SABC, делит
1) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и точку M - середину ребра SC треугольной пирамиды SABC, делит отрезок SO в отношении 3 : 1, относительно вершины S.
2) Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, которая проходит через прямую AB и точку H - середину высоты SH пирамиды. Пусть K - точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB : AS = 1.
2) Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, которая проходит через прямую AB и точку H - середину высоты SH пирамиды. Пусть K - точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB : AS = 1.
Ледяная_Сказка 30
Задача 1:Для начала, будем обозначать векторы заглавными буквами, а их модули и направления - соответственно строчными буквами.
Пусть
Также, пусть
Поскольку точка
Также, вектор
Из условия задачи, плоскость проходит через прямую
То есть векторы
Следовательно, векторное произведение векторов
Распишем это векторное произведение:
С помощью свойства дистрибутивности векторного произведения относительно суммы, получаем:
Так как векторные произведения
Теперь подставим значения векторов:
Пользуясь свойством дистрибутивности векторного произведения относительно умножения на скаляр, получаем:
Так как
Меняем знак векторного произведения:
Сворачиваем минусы внутри векторного произведения:
Теперь заметим, что
Из свойства антикоммутативности векторного произведения, получаем:
Используем свойство коммутативности векторного произведения:
Снова применяем свойство дистрибутивности:
Но
По определению векторного произведения, получаем:
Здесь
Поскольку плоскость делит отрезок
Заменяем вектор
и используем свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:
Поэтому:
Аналогично,
Теперь вернемся к равенству:
Подставим полученные значения:
Сократим коэффициент 3:
Из обратимости векторного произведения следует, что
Заменим вектор
Проверим равенство векторов:
Домножим скалярное произведение на вектор
Упростим скалярное произведение векторов:
Используя свойства антикоммутативности скалярного произведения, получаем:
Теперь выполняем раскрытие скобок и объединение подобных слагаемых:
Сгруппируем слагаемые с вектором
Посмотрим на треугольник, получившийся в результате деления отрезка
Из геометрии известно, что
Так как треугольник равносторонний, то
Следовательно, вектор
Наконец, получаем:
\[-\vec{c} \times \vec{AB} = \frac{3}{2} \left(\vec{AS} \cdot \vec{OS}\right) \cdot (-\vec{AS}) = -\frac{3}{2} \left(\