1. Find the quotient and remainder of dividing the polynomial P(x) by the binomial Q(x) using the Horner s scheme

Арсений

28

Хорошо, давайте по шагам решим обе задачи.

Задача 1. Найдите частное и остаток от деления многочлена P(x) на бином Q(x) с использованием схемы Горнера, при условии, что P(x) = 4x^4 - 18x^3 - 9x^2 + 2x - 13, а Q(x) = x + 5.

Шаг 1: Запишем коэффициенты многочлена P(x) в порядке убывания степеней:
4, -18, -9, 2, -13.

Шаг 2: Нарисуем схему Горнера, представив Q(x) = (x + 5) в виде таблицы:

| 4 | -18 | -9 | 2 | -13
-5 | | | | |
| R | A | A | A | A

Шаг 3: Поместим первый коэффициент многочлена P(x) в ячейку под знаком в таблице (в ячейке "R").

| 4 | -18 | -9 | 2 | -13
-5 | | 4 | | |
| R | A | A | A | A

Шаг 4: Умножим полученное значение ячейки R на -5 и запишем результат (A) в ячейку правее.

| 4 | -18 | -9 | 2 | -13
-5 | | 4 | -20 | |
| R | A | A | A | A

Шаг 5: Просуммируем коэффициенты под ячейками (A) и запишем результат в следующую ячейку (A).

| 4 | -18 | -9 | 2 | -13
-5 | | 4 | -20 | -11 |
| R | A | A | A | A

Шаг 6: Повторим шаги 4-5 для всех оставшихся коэффициентов, продвигаясь слева направо по таблице.

| 4 | -18 | -9 | 2 | -13
-5 | | 4 | -20 | -11 | 37
| R | A | A | A | A

Шаг 7: Последнее число в ячейке (37) - это остаток от деления многочлена P(x) на бином Q(x).

Шаг 8: Чтобы найти частное, возьмем коэффициенты под ячейками (A) и запишем их в порядке убывания степеней многочлена. Полученный многочлен будет являться частным от деления P(x) на Q(x).

Частное: 4x^3 - 2x^2 + 3x + 6
Остаток: 37

Таким образом, P(x) = Q(x) * (4x^3 - 2x^2 + 3x + 6) + 37.

Перейдем к задаче 2.

Задача 2. Определите член разложения бинома (квадратный корень из x - 5 / квадратный корень из x)^10, содержащий 1 / x^3.

Шаг 1: Запишем два члена в биноме: a = √(x - 5) и b = 1 / √x.

Шаг 2: Используем формулу для разложения бинома Ньютона, чтобы найти искомый член разложения. Формула имеет вид:

C(n, k) * a^(n-k) * b^k,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, a - первый член, b - второй член, n - показатель степени бинома, k - номер искомого члена разложения.

Шаг 3: Рассмотрим каждый член разложения и найдем номер члена, содержащего 1 / x^3.

Члены разложения (от n=0 до n=10):
1, 10 * (a^9) * (b^1), 45 * (a^8) * (b^2), 120 * (a^7) * (b^3), 210 * (a^6) * (b^4), 252 * (a^5) * (b^5), 210 * (a^4) * (b^6), 120 * (a^3) * (b^7), 45 * (a^2) * (b^8), 10 * (a^1) * (b^9), 1 * (a^0) * (b^10).

Шаг 4: Обратим внимание на члены разложения, содержащие (b^3) и (1 / x^3). Единственный член, где b^3 присутствует, - это 120 * (a^7) * (b^3), поэтому искомый член разложения - это 120 * (a^7) * (b^3).

Ответ: 120 * (a^7) * (b^3).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло разобраться в задачах. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!