Как найти решение уравнения 3ctgx=2 |cosx|?

Шумный_Попугай

43

Для начала, давайте разберемся с общим понятием уравнения для решения этой задачи.

Уравнение, данное вам, выглядит следующим образом: 3ctgx = 2 |cosx|
Прежде чем мы начнем, стоит отметить, что символ "|" означает модуль числа, то есть, если мы возьмем модуль от числа, то результат будет всегда положительным.

Теперь перейдем к решению уравнения.

1. Начнем с нахождения области определения функций, представленных в данном уравнении. Область определения функции ctg(x) - все значения x, при которых ctg(x) существует. Возможно значение колизий синуса и косинуса - π/2.

Так как в данном уравнении имеется tangens, логическим образом к нам приходит информция о том, что значения x не должно быть равно π/2 + πk, где k - любое целое число, иначе ctg(x) не определено.

Теперь, рассмотрим функцию |cosx|, где x - является переменной. В общем случае, область определения модуля - это все значения x, для которых cosx существует. cosx существует для всех значений x. Тем не менее, в модуле мы берем только положительные значения от cosx.

Исходя из этого, выражение |cosx| будет принимать положительные значения для всех x.

На данный момент, мы определили, что область определения данного уравнения - все значения x, кроме π/2 + πk, где k - любое целое число.

2. Далее, приведем данный уравнения к эквивалентной форме, исключив модуль. Для этого, зная, что |z| = z, если z ≥ 0, и |z| = -z, если z < 0, мы можем разбить уравнение на два случая.

В первом случае у нас будет: 3ctgx = 2 cosx, где 2 cosx - положительное значение.
Во втором случае у нас будет: 3ctgx = -2 cosx, где -2 cosx - отрицательное значение.

Почему так? Когда значение функции ctgx является положительным, модуль |cosx| будет равен самому cosx. Если же значение функции ctgx отрицательное, то модуль |cosx| будет равен -cosx. Следовательно, мы можем разделить уравнение на два случая.

3. Решим первый случай: 3ctgx = 2 cosx.

Для начала, давайте приведем оба терминиа на одну сторону уравнения:
3 ctgx - 2 cosx = 0.

Далее, найдем общий знаменатель для функций ctgx и cosx, чтобы можно было сложить их:
(3 ctgx - 2 cosx) * sinx = 0.

Исходя из свойств тригонометрических функций, мы можем заметить, что sinx не равен 0. Следовательно, можно делить обе стороны уравнения на sinx:
3 ctgx - 2 cosx = 0.

Теперь, разделим оба термина на cosx:
3 ctgx/cosx - 2 = 0.

Далее, зная тождество ctgx = cosx/sinx, мы можем заменить ctgx на cosx/sinx:
3 (cosx/sinx) / cosx - 2 = 0.

Обратите внимание, что здесь также возможно деление на sinx. Однако, так как sinx не равен 0, то мы можем безопасно делить обе стороны на sinx:
3/sinx - 2 = 0.

Теперь, добавим 2 на обе стороны уравнения:
3/sinx = 2.

Затем, разделим обе стороны на 3:
1/sinx = 2/3.

И, наконец, найдем синус обратного значения:
sinx = 3/2.

Ответом на этот случай будет значение x, для которого sinx равен 3/2. Однако, в определенных случаях, значение синуса может превысить 1 или быть меньше -1, что противоречит его определению. Таким образом, в данном случае, уравнение не имеет решения.

4. Теперь рассмотрим второй случай: 3ctgx = -2 cosx.

Данный случай заключает в себе такие же шаги, как и первый случай, только результат будет отрицательным:
3 ctgx/cosx + 2 = 0.

После применения тождеств ctgx = cosx/sinx и деления на sinx получим:
1/sinx = -2/3.

Снова, найдем синус обратного значения:
sinx = -3/2.

Аналогично первому случаю, это значение синуса находится вне его области определения, поэтому второй случай не имеет решений.

В итоге, решение данного уравнения 3ctgx = 2 |cosx| не существует, так как оба случая не имеют решений, которые удовлетворяли бы области определения функций.