1. Is the probability of the events getting heads twice the same as the probability of getting heads on one throw

  • 22
1. Is the probability of the events "getting heads twice" the same as the probability of "getting heads on one throw and tails on the other" when tossing a fair symmetrical coin twice?
2. When two dice are rolled - one yellow and one green - calculate the probability of: a) "the sum of the scores on both dice is 7"; b) "the sum of the scores on both dice is greater than 8, and the green die scores more than two"; c) "the yellow die scores more than the green die".
3. A fair six-sided die is rolled twice. It is known that the product of the scores is even. Find the probability of: a) "getting a score of 5 on one of the rolls"; b) "the sum of the scores is less than 9".
Pufik_4016
7
Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Вероятность события "получить решку два раза" и вероятность события "получить решку один раз и орла другой раз" при повторном броске симметричной монеты одинаковые или разные?

Да, эти два события имеют одинаковую вероятность. Рассмотрим каждое событие отдельно:

Событие "получить решку два раза":
Вероятность получить решку при одном броске равна 1/2. Поскольку события происходят независимо, вероятность того, что они произойдут оба раза, равна произведению вероятностей каждого события:
\[P(\text{{решка два раза}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Событие "получить решку один раз и орла другой раз":
Также как и в предыдущем случае, вероятность получить решку при одном броске равна 1/2. Поскольку решка и орел - это два разных исхода, вероятность того, что они произойдут оба раза, равна произведению вероятности получить решку и вероятности получить орла:
\[P(\text{{решка и орел}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, вероятности этих двух событий одинаковые и равны 1/4.

2. Перейдем ко второй задаче. Когда бросаются два кубика - один желтый и один зеленый - вычислите вероятность:

a) "сумма очков на обоих кубиках равна 7";

Чтобы найти вероятность этого события, нужно определить все возможные исходы, которые удовлетворяют условию и поделить их на общее количество возможных исходов. Итак, вот все возможные исходы при броске двух кубиков:

\[
\begin{align*}
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)
\end{align*}
\]

Таким образом, всего у нас есть 12 возможных исходов.

Теперь посмотрим, сколько из них удовлетворяют условию "сумма очков на обоих кубиках равна 7". Из перечисленных исходов, только следующие исходы удовлетворяют условию: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3). Их всего 6.

Следовательно, вероятность события "сумма очков на обоих кубиках равна 7" равна:

\[P(\text{{сумма равна 7}}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

b) "сумма очков на обоих кубиках больше 8 и у зеленого кубика больше двух";

Аналогично, определяем все возможные исходы:

\[
\begin{align*}
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)
\end{align*}
\]

Всего у нас есть 10 возможных исходов.

Из перечисленных исходов, только следующие исходы удовлетворяют условию:

(4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6). Их всего 9.

Таким образом, вероятность события "сумма очков на обоих кубиках больше 8 и у зеленого кубика больше двух" равна:

\[P(\text{{сумма > 8 и зеленый > 2}}) = \frac{9}{10}\]

c) "очки на желтом кубике больше, чем у зеленого кубика";

Опять же, определяем все возможные исходы:

\[
\begin{align*}
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
\end{align*}
\]

Всего у нас есть 36 возможных исходов.

Из перечисленных исходов, следующие исходы удовлетворяют условию:

(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5). Их всего 15.

Таким образом, вероятность события "очки на желтом кубике больше, чем у зеленого кубика" равна:

\[P(\text{{желтый > зеленый}}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\]

3. Перейдем к третьей задаче. Справедливый шестигранный кубик бросается дважды. Известно, что произведение очков четное. Найдите вероятность:

a) "получить четное произведение";

Чтобы найти вероятность этого события, мы должны сначала определить все возможные исходы при броске двух кубиков. У нас есть 6 возможных результатов для каждого броска. Поскольку броски выполняются независимо друг от друга, общее количество возможных исходов равно произведению количества исходов первого и второго броска, то есть 6 * 6 = 36.

Теперь определим все исходы, обладающие свойством "произведение очков четное". Чтобы произведение было четным, оба кубика должны иметь четное или нечетное число очков. Рассмотрим все возможные комбинации:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\ (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Очевидно, что существует 18 исходов из 36, обладающих свойством "произведение очков четное".

Таким образом, вероятность события "получить четное произведение" равна:

\[P(\text{{четное произведение}}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\]

Я надеюсь, что эти подробные и пошаговые решения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, сообщите мне!