1. Is the probability of the events getting heads twice the same as the probability of getting heads on one throw
1. Is the probability of the events "getting heads twice" the same as the probability of "getting heads on one throw and tails on the other" when tossing a fair symmetrical coin twice?
2. When two dice are rolled - one yellow and one green - calculate the probability of: a) "the sum of the scores on both dice is 7"; b) "the sum of the scores on both dice is greater than 8, and the green die scores more than two"; c) "the yellow die scores more than the green die".
3. A fair six-sided die is rolled twice. It is known that the product of the scores is even. Find the probability of: a) "getting a score of 5 on one of the rolls"; b) "the sum of the scores is less than 9".
2. When two dice are rolled - one yellow and one green - calculate the probability of: a) "the sum of the scores on both dice is 7"; b) "the sum of the scores on both dice is greater than 8, and the green die scores more than two"; c) "the yellow die scores more than the green die".
3. A fair six-sided die is rolled twice. It is known that the product of the scores is even. Find the probability of: a) "getting a score of 5 on one of the rolls"; b) "the sum of the scores is less than 9".
Pufik_4016 7
Давайте разберем каждую задачу по порядку.1. Вероятность события "получить решку два раза" и вероятность события "получить решку один раз и орла другой раз" при повторном броске симметричной монеты одинаковые или разные?
Да, эти два события имеют одинаковую вероятность. Рассмотрим каждое событие отдельно:
Событие "получить решку два раза":
Вероятность получить решку при одном броске равна 1/2. Поскольку события происходят независимо, вероятность того, что они произойдут оба раза, равна произведению вероятностей каждого события:
\[P(\text{{решка два раза}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
Событие "получить решку один раз и орла другой раз":
Также как и в предыдущем случае, вероятность получить решку при одном броске равна 1/2. Поскольку решка и орел - это два разных исхода, вероятность того, что они произойдут оба раза, равна произведению вероятности получить решку и вероятности получить орла:
\[P(\text{{решка и орел}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
Таким образом, вероятности этих двух событий одинаковые и равны 1/4.
2. Перейдем ко второй задаче. Когда бросаются два кубика - один желтый и один зеленый - вычислите вероятность:
a) "сумма очков на обоих кубиках равна 7";
Чтобы найти вероятность этого события, нужно определить все возможные исходы, которые удовлетворяют условию и поделить их на общее количество возможных исходов. Итак, вот все возможные исходы при броске двух кубиков:
\[
\begin{align*}
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)
\end{align*}
\]
Таким образом, всего у нас есть 12 возможных исходов.
Теперь посмотрим, сколько из них удовлетворяют условию "сумма очков на обоих кубиках равна 7". Из перечисленных исходов, только следующие исходы удовлетворяют условию: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3). Их всего 6.
Следовательно, вероятность события "сумма очков на обоих кубиках равна 7" равна:
\[P(\text{{сумма равна 7}}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]
b) "сумма очков на обоих кубиках больше 8 и у зеленого кубика больше двух";
Аналогично, определяем все возможные исходы:
\[
\begin{align*}
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)
\end{align*}
\]
Всего у нас есть 10 возможных исходов.
Из перечисленных исходов, только следующие исходы удовлетворяют условию:
(4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6). Их всего 9.
Таким образом, вероятность события "сумма очков на обоих кубиках больше 8 и у зеленого кубика больше двух" равна:
\[P(\text{{сумма > 8 и зеленый > 2}}) = \frac{9}{10}\]
c) "очки на желтом кубике больше, чем у зеленого кубика";
Опять же, определяем все возможные исходы:
\[
\begin{align*}
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
\end{align*}
\]
Всего у нас есть 36 возможных исходов.
Из перечисленных исходов, следующие исходы удовлетворяют условию:
(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5). Их всего 15.
Таким образом, вероятность события "очки на желтом кубике больше, чем у зеленого кубика" равна:
\[P(\text{{желтый > зеленый}}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\]
3. Перейдем к третьей задаче. Справедливый шестигранный кубик бросается дважды. Известно, что произведение очков четное. Найдите вероятность:
a) "получить четное произведение";
Чтобы найти вероятность этого события, мы должны сначала определить все возможные исходы при броске двух кубиков. У нас есть 6 возможных результатов для каждого броска. Поскольку броски выполняются независимо друг от друга, общее количество возможных исходов равно произведению количества исходов первого и второго броска, то есть 6 * 6 = 36.
Теперь определим все исходы, обладающие свойством "произведение очков четное". Чтобы произведение было четным, оба кубика должны иметь четное или нечетное число очков. Рассмотрим все возможные комбинации:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\ (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).
Очевидно, что существует 18 исходов из 36, обладающих свойством "произведение очков четное".
Таким образом, вероятность события "получить четное произведение" равна:
\[P(\text{{четное произведение}}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\]
Я надеюсь, что эти подробные и пошаговые решения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, сообщите мне!