1. Как будет выглядеть формула для зависимости vx(t) на основе данного уравнения движения материальной точки

Елизавета

9

1. Для нахождения формулы зависимости \(v_x(t)\) воспользуемся производной от уравнения движения материальной точки \(x = 12t + 2t^2\) по времени \(t\).

Сначала найдем производную \(x"(t)\) уравнения \(x(t)\):
\[x"(t) = \frac{d}{dt}(12t + 2t^2)\]
\[x"(t) = 12 + 4t\]

Так как проекция скорости точки на ось \(x\) является производной от координаты по времени, то \(v_x(t) = x"(t)\):
\[v_x(t) = x"(t)\]
\[v_x(t) = 12 + 4t\]

Окончательно, формула для зависимости \(v_x(t)\) от времени \(t\) будет \(v_x(t) = 12 + 4t\).

Начальная координата точки равна значению \(x(t)\) при \(t = 0\). Подставим \(t = 0\) в уравнение \(x(t)\) и найдем начальную координату:
\[x(0) = 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 0\]

Таким образом, начальная координата точки равна 0.

Проекция начальной скорости точки равна значению \(v_x(t)\) при \(t = 0\). Подставим \(t = 0\) в формулу \(v_x(t)\) и найдем проекцию начальной скорости:
\[v_x(0) = 12 + 4 \cdot 0 = 12\]

Таким образом, проекция начальной скорости точки равна 12.

Ускорение точки равно производной от \(v_x(t)\) по времени \(t\). Найдем производную \(v_x"(t)\):
\[v_x"(t) = \frac{d}{dt}(12 + 4t)\]
\[v_x"(t) = 4\]

Таким образом, ускорение точки равно 4.

Через 5 секунд (подставим \(t = 5\) в уравнения) координата точки будет:
\[x(5) = 12 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 = 60 + 50 = 110\]

Проекция скорости через 5 секунд будет:
\[v_x(5) = 12 + 4 \cdot 5 = 12 + 20 = 32\]

2. Средняя скорость движения автобуса можно определить, разделив общий пройденный путь на общее время движения.

Пусть общий пройденный путь равен \(d\) и общее время движения равно \(t\) (в данном случае можно считать, что автобус проехал полпути со скоростью 50 км/ч и вторую половину пути со скоростью 80 км/ч).

Общий пройденный путь равен сумме пройденных расстояний за каждую половину пути:
\[d = \frac{1}{2}d_1 + \frac{1}{2}d_2\]

где \(d_1\) - пройденное расстояние за первую половину пути, \(d_2\) - пройденное расстояние за вторую половину пути.

Пройденное расстояние можно выразить через скорость и время:
\[d_1 = v_1 \cdot t_1\]
\[d_2 = v_2 \cdot t_2\]

где \(v_1\) - скорость на первой половине пути, \(v_2\) - скорость на второй половине пути, \(t_1\) - время движения на первой половине пути, \(t_2\) - время движения на второй половине пути.

Так как в задаче известны скорости и время движения на каждой половине пути, можем записать уравнение для общего пройденного пути:
\[d = \frac{1}{2}(v_1 \cdot t_1) + \frac{1}{2}(v_2 \cdot t_2)\]

Средняя скорость \(v_{avg}\) будет равна общему пройденному пути \(d\) деленному на общее время движения \(t\):
\[v_{avg} = \frac{d}{t}\]

3. Ускорение автомобиля можно определить, используя формулу для ускорения:
\[a = \frac{v - u}{t}\]

где \(a\) - ускорение, \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость, \(t\) - время.

В данной задаче дано, что автомобиль разгоняется за 10 секунд до скорости 54 км/ч. Начальная скорость \(u = 0\) (так как автомобиль стоит на месте в начале разгона) и конечная скорость \(v = 54\) км/ч.

Сначала нужно перевести скорость из км/ч в м/с, так как ускорение обычно измеряется в м/с². 1 км/ч = \(\frac{1000}{3600}\) м/с.
Таким образом, \(v\) равно \(\frac{54 \cdot 1000}{3600}\) м/с.

Подставляя значения в формулу ускорения, получаем:
\[a = \frac{\frac{54 \cdot 1000}{3600} - 0}{10}\]

Решив это уравнение, можно найти ускорение автомобиля.

4. Ускорение пули можно определить, используя второй закон Ньютона:
\[F = ma\]

где \(F\) - сила, \(m\) - масса пули, \(a\) - ускорение.

Дано, что пуля пробивает стену толщиной 35 см. Поэтому пуля испытывала тормозящую силу со стороны стены на протяжении всего пробега. Эта сила вызывала ускорение пули.

Ускорение пули можно выразить, разделив силу на массу:
\[a = \frac{F}{m}\]

Но для того чтобы найти силу \(F\), нам понадобится знание о времени, за которое пуля пробила стену.

Вероятно, изначально имелась начальная скорость, но в данной задаче эта информация не приведена. Поэтому будем считать, что пуля покоилась перед выстрелом и, соответственно, начальная скорость \(v_0 = 0\).

Можно записать уравнение движения пули:
\[x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]

Скорость пули в конечный момент времени \(t\) равна 0, так как пуля останавливается после прохождения через стену.

Зная, что путь \(x\) равен толщине стены (в данном случае 35 см \(= 0,35\) м), запишем уравнение:
\[0,35 = 0 \cdot t + \frac{1}{2}at^2\]

Теперь, решив это уравнение относительно ускорения \(a\), можно найти требуемое ускорение.