1. Как изменится центростремительное ускорение материальной точки, если радиус ее движения по окружности увеличился

Zagadochnyy_Les

41

1. Центростремительное ускорение ( \( a_c \) ) материальной точки, движущейся по окружности, связано с радиусом \( r \) и скоростью \( v \) следующим образом: \( a_c = \frac{{v^2}}{{r}} \)

Если радиус увеличивается в 1,5 раза, это означает, что новый радиус (\( r" \)) будет равен \( 1,5r \). При этом, скорость точки останется неизменной, поскольку изменение радиуса не влияет на скорость.

Теперь, чтобы узнать, как изменится значение центростремительного ускорения (\( a_c" \)), используем формулу:

\( a_c" = \frac{{v^2}}{{r"}} \)

Подставляем значение \( r" = 1,5r \):

\( a_c" = \frac{{v^2}}{{1,5r}} \)

Когда мы умножаем и делим на 1,5, получаем:

\( a_c" = \frac{{\frac{{v^2}}{{1,5}}}}{{r}} \)

Из этого можно заключить, что новое центростремительное ускорение будет составлять \(\frac{{1}}{{1,5}}\) от исходного ускорения \(a_c\), то есть:

\( a_c" = \frac{{1}}{{1,5}} a_c \)

Теперь мы можем вычислить изменение ускорения в относительных значениях:

\( \frac{{a_c"}}{{a_c}} = \frac{{1}}{{1,5}} = 0,67 \)

Таким образом, центростремительное ускорение изменится в 0,67 раза от исходного значения. Ответ можно округлить до двух десятичных знаков:

Центростремительное ускорение уменьшится в 1,5 раза.

2. Время, за которое тело свободно падает с высоты \( h \) без начальной скорости, можно рассчитать с использованием формулы свободного падения:

\( t = \sqrt{\frac{{2h}}{{g}}} \), где \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно 9,8 м/с² на Земле).

Подставляем значение высоты \( h = 45 \) м:

\( t = \sqrt{\frac{{2 \cdot 45}}{{9,8}}} \)

Выполняем вычисления:

\( t = \sqrt{\frac{{90}}{{9,8}}} \approx \sqrt{9,18} \approx 3,03 \) (округляем результат до двух десятичных знаков)

Таким образом, время, необходимое для падения тела с высоты 45 м, составляет примерно 3,03 секунды.

3. Гравитационная сила взаимодействия между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

\( F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная (приближенно \( 6,67 \times 10^{-11} \) Н·м²/кг²), \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы тел, \( r \) - расстояние между ними.

Если каждую массу \( m_1 \) и \( m_2 \) увеличить в 2 раза, а расстояние \( r \) уменьшить в 3 раза, то новая сила (\( F" \)) будет:

\( F" = G \cdot \frac{{(2m_1) \cdot (2m_2)}}{{(\frac{{r}}{3})^2}} \)

Упростим выражение:

\( F" = G \cdot \frac{{4m_1 \cdot 4m_2}}{{(\frac{{r^2}}{9})}} \)

Из этого можно сделать вывод, что новая сила будет составлять:

\( F" = G \cdot \frac{{16m_1 \cdot m_2}}{{\frac{{r^2}}{{9}}}} \)

Упростим еще больше:

\( F" = G \cdot \frac{{16m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \cdot \frac{{9}}{{1}} \)

Таким образом, новая сила будет в \( 16 \times 9 = 144 \) раза больше исходной силы гравитационного взаимодействия. Ответ:

Сила гравитационного взаимодействия между шариками увеличится в 144 раза.