1. Как можно найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений, имея

  • 62
1. Как можно найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений, имея статистическое распределение выборки, где указаны выборочные варианты хi и соответствующие частоты ni?
2. Необходимо определить доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с надежностью =0,95, используя статистическое распределение выборки с указанными выборочными вариантами хi и соответствующими частотами ni.
3. С использованием критерия Пирсона при уровне значимости =0,05 изучить, соответствует ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности данным выборки объема n=100, где указаны выборочные варианты хi.
Vodopad_964
26
Выборки характеризуются статистическим распределением, где указаны выборочные варианты xi и соответствующие частоты ni. Чтобы найти выборочную среднюю, нужно умножить каждое значение выборки xi на соответствующую ему частоту ni, просуммировать эти произведения и разделить получившуюся сумму на общую сумму частот N=i=1kni, где k - количество различных значений выборки.

Математическая формула для нахождения выборочной средней:
x¯=i=1kxiniN

Для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения по методу произведений необходимо:
1. Вычислить выборочную среднюю x¯ по указанной формуле.
2. Для каждого значения выборки xi вычислить разность xix¯.
3. Возвести каждую полученную разность в квадрат.
4. Умножить каждое получившееся значение на соответствующую частоту ni.
5. Суммировать все произведения из предыдущего пункта, чтобы получить сумму квадратов отклонений.
6. Разделить сумму квадратов отклонений на общую сумму частот N, чтобы получить выборочное среднее квадратическое отклонение.

Математическая формула для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения:
s=i=1k(xix¯)2niN

Теперь перейдем ко второй задаче. Чтобы определить доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания α с надежностью γ=0.95, нужно знать статистическое распределение выборки с указанными выборочными вариантами xi и соответствующими частотами ni.

Доверительные интервалы могут быть вычислены с использованием формулы доверительного интервала для математического ожидания, которая выглядит следующим образом:
Дов. интервал=x¯±ZsN

Где:
- x¯ - выборочное среднее, уже вычисленное в первой задаче,
- s - выборочное среднее квадратическое отклонение, также уже вычисленное в первой задаче,
- N - общая сумма частот, которая уже известна по статистическому распределению выборки,
- Z - Z-значение, соответствующее надежности γ.

Z-значение может быть найдено с помощью таблицы нормального стандартного распределения. Для надежности γ=0.95, Z-значение будет равно 1.96.

И наконец, перейдем к третьей задаче. Для изучения гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности используется критерий Пирсона. При уровне значимости α=0.05, этот критерий позволяет проверить, соответствует ли гипотеза о нормальном распределении данным выборки.

Критерий Пирсона основан на сравнении фактической частоты наблюдения каждого значения выборки с ожидаемой частотой, которая рассчитывается, предполагая нормальное распределение. Для этого сначала нужно рассчитать ожидаемую частоту, которая получается умножением общей суммы частот N на вероятность для каждого значения выборки по нормальному распределению. Затем сравниваются фактические и ожидаемые частоты с помощью статистики Пирсона.

Статистика Пирсона рассчитывается по следующей формуле:
χ2=i=1k(niNpi)2Npi

Где:
- ni - фактическая частота наблюдения для каждого значения выборки,
- N - общая сумма частот,
- pi - ожидаемая частота для каждого значения выборки при предположении о нормальном распределении.

Значение статистики Пирсона сравнивается с критическим значением, которое можно найти в соответствующей таблице для заданного уровня значимости α и количества степеней свободы, которое равно k1 (где k - количество различных значений выборки).

Если значение статистики Пирсона меньше критического значения, то гипотеза о нормальном распределении принимается. Если значение статистики Пирсона больше критического значения, гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять и выполнять данные задачи.