1. Как можно найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений, имея

Vodopad_964

26

Выборки характеризуются статистическим распределением, где указаны выборочные варианты \( x_i \) и соответствующие частоты \( n_i \). Чтобы найти выборочную среднюю, нужно умножить каждое значение выборки \( x_i \) на соответствующую ему частоту \( n_i \), просуммировать эти произведения и разделить получившуюся сумму на общую сумму частот \( N = \sum_{i=1}^{k} n_i \), где \( k \) - количество различных значений выборки.

Математическая формула для нахождения выборочной средней:
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i}{N} \]

Для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения по методу произведений необходимо:
1. Вычислить выборочную среднюю \(\bar{x}\) по указанной формуле.
2. Для каждого значения выборки \( x_i \) вычислить разность \( x_i - \bar{x} \).
3. Возвести каждую полученную разность в квадрат.
4. Умножить каждое получившееся значение на соответствующую частоту \( n_i \).
5. Суммировать все произведения из предыдущего пункта, чтобы получить сумму квадратов отклонений.
6. Разделить сумму квадратов отклонений на общую сумму частот \( N \), чтобы получить выборочное среднее квадратическое отклонение.

Математическая формула для нахождения выборочного среднего квадратического отклонения:
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i}{N}} \]

Теперь перейдем ко второй задаче. Чтобы определить доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания \( \alpha \) с надежностью \( \gamma = 0.95 \), нужно знать статистическое распределение выборки с указанными выборочными вариантами \( x_i \) и соответствующими частотами \( n_i \).

Доверительные интервалы могут быть вычислены с использованием формулы доверительного интервала для математического ожидания, которая выглядит следующим образом:
\[ \text{Дов. интервал} = \bar{x} \pm Z \cdot \frac{s}{\sqrt{N}} \]

Где:
- \( \bar{x} \) - выборочное среднее, уже вычисленное в первой задаче,
- \( s \) - выборочное среднее квадратическое отклонение, также уже вычисленное в первой задаче,
- \( N \) - общая сумма частот, которая уже известна по статистическому распределению выборки,
- \( Z \) - Z-значение, соответствующее надежности \( \gamma \).

Z-значение может быть найдено с помощью таблицы нормального стандартного распределения. Для надежности \( \gamma = 0.95 \), Z-значение будет равно 1.96.

И наконец, перейдем к третьей задаче. Для изучения гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности используется критерий Пирсона. При уровне значимости \( \alpha = 0.05 \), этот критерий позволяет проверить, соответствует ли гипотеза о нормальном распределении данным выборки.

Критерий Пирсона основан на сравнении фактической частоты наблюдения каждого значения выборки с ожидаемой частотой, которая рассчитывается, предполагая нормальное распределение. Для этого сначала нужно рассчитать ожидаемую частоту, которая получается умножением общей суммы частот \( N \) на вероятность для каждого значения выборки по нормальному распределению. Затем сравниваются фактические и ожидаемые частоты с помощью статистики Пирсона.

Статистика Пирсона рассчитывается по следующей формуле:
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(n_i - Np_i)^2}{Np_i} \]

Где:
- \( n_i \) - фактическая частота наблюдения для каждого значения выборки,
- \( N \) - общая сумма частот,
- \( p_i \) - ожидаемая частота для каждого значения выборки при предположении о нормальном распределении.

Значение статистики Пирсона сравнивается с критическим значением, которое можно найти в соответствующей таблице для заданного уровня значимости \( \alpha \) и количества степеней свободы, которое равно \( k - 1 \) (где \( k \) - количество различных значений выборки).

Если значение статистики Пирсона меньше критического значения, то гипотеза о нормальном распределении принимается. Если значение статистики Пирсона больше критического значения, гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять и выполнять данные задачи.