1) Какие функции, рассмотренные как функции натурального аргумента, соответствуют арифметической и геометрической

Basya

28

1) Давайте начнём с арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления одного и того же числа к предыдущему.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a\) и разность между членами как \(d\). Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[a_n = a + (n-1)d\]

Таким образом, функция, соответствующая арифметической прогрессии, имеет вид:

\[f(n) = a + (n-1)d\]

Теперь рассмотрим геометрическую прогрессию. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\) и знаменатель как \(r\). Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

\[a_n = a \cdot r^{(n-1)}\]

Таким образом, функция, соответствующая геометрической прогрессии, будет иметь вид:

\[f(n) = a \cdot r^{(n-1)}\]

2) Теперь давайте поговорим о монотонности арифметической и геометрической прогрессий.

Монотонность арифметической прогрессии не зависит от значения первого члена и разности. Арифметическая прогрессия всегда будет либо возрастающей, либо убывающей. Если разность положительна, то прогрессия будет возрастающей, если разность отрицательна, то прогрессия будет убывающей.

Монотонность геометрической прогрессии зависит от значения первого члена и знаменателя. Если знаменатель \(r\) положительный и больше 1, то прогрессия будет возрастающей, если \(0 < r < 1\), то прогрессия будет убывающей. Если знаменатель равен 1, то все члены прогрессии будут одинаковыми, что можно считать как возрастающую и убывающую прогрессии одновременно.

Таким образом, монотонность арифметической прогрессии зависит только от знака разности, а монотонность геометрической прогрессии зависит от знака знаменателя и его значения по отношению к 1.