1) Какие интервалы сохранения знака для функции y=корень x+2? 2) Какие промежутки, на которых функция y=|x^2-4|

Siren

8

1) Для данной функции \(y = \sqrt{x + 2}\) интервалы сохранения знака можно найти, рассматривая значение под корнем \(x + 2\). Чтобы корень был определен, значение под корнем должно быть неотрицательным (т.е. \(x + 2 \geq 0\)). Вычтем 2 из обеих частей и получим \(x \geq -2\). Значит, функция сохраняет знак положительным при \(x \geq -2\).

2) Функция \(y = |x^2 - 4|\) имеет абсолютное значение, значит она либо положительна, либо равна нулю. Найдем корни уравнения \(x^2 - 4 = 0\). Решением этого квадратного уравнения являются \(x = -2\) и \(x = 2\). Таким образом, промежутки, на которых функция не меняет знак, это \([-2, 2]\).

3) Чтобы найти интервалы знакопостоянства функции \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\), зададимся вопросом, при каких значениях аргумента выражение \((x - 1)(x - 3)^2\) положительно, отрицательно или равно нулю. Найдем корни уравнения \((x - 1)(x - 3)^2 = 0\). Решением будет \(x = 1\) и \(x = 3\). Зная значения корней, мы можем построить таблицу знаков и определить интервалы знакопостоянства функции:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& x < 1 & 1 < x < 3 & x > 3 \\
\hline
(x - 1) & - & + & + \\
\hline
(x - 3)^2 & + & 0 & + \\
\hline
\sqrt{(x - 1)(x - 3)^2} & \text{Нет значения} & 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]

Итак, функция \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\) положительна на интервале \(x > 3\) и равна нулю на интервале \(1 < x < 3\).

4) Для функции \(y = [x]\) мы должны найти интервалы, на которых функция сохраняет знак. Здесь используется функция "ступенька" или функция "наибольшее целое". Заметим, что функция меняет знак только в точках, где значение аргумента является целым числом. Таким образом, интервалы сохранения знака для функции \(y = [x]\) будут каждый интервал между соседними целыми числами, например, (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), и так далее.