1) Какие комплексные числа имеют действительную и мнимую части со значениями -0.5 и корень из 5 соответственно?
1) Какие комплексные числа имеют действительную и мнимую части со значениями -0.5 и корень из 5 соответственно?
2) Какие комплексные числа имеют действительную и мнимую части со значениями 1/4 и -1?
3) Найдите модули этих чисел и изобразите их на комплексной плоскости.
4) Выполните арифметические действия с числами -7 + 2i и 5 - 4i.
5) Решите (2 + 3i)² - ((2 - 3i)²; (3 + 4i)² + (3 - 4i)².
6) Разложите на множители выражения: z² - 2z + 10; 4z² + 8z + 5.
7) Запишите числа в тригонометрической форме: -2i, √3 - i, -√3 + i.
2) Какие комплексные числа имеют действительную и мнимую части со значениями 1/4 и -1?
3) Найдите модули этих чисел и изобразите их на комплексной плоскости.
4) Выполните арифметические действия с числами -7 + 2i и 5 - 4i.
5) Решите (2 + 3i)² - ((2 - 3i)²; (3 + 4i)² + (3 - 4i)².
6) Разложите на множители выражения: z² - 2z + 10; 4z² + 8z + 5.
7) Запишите числа в тригонометрической форме: -2i, √3 - i, -√3 + i.
Mister_642 47
Решение:1) Для того чтобы найти комплексные числа с данными действительными и мнимыми частями, просто используем данные значения.
Комплексное число с действительной частью -0.5 и мнимой частью \(\sqrt{5}\) будет иметь вид \(-0.5 + \sqrt{5}i\).
2) Комплексное число с действительной частью \(\frac{1}{4}\) и мнимой частью -1 будет иметь вид \(\frac{1}{4} - i\).
3) Чтобы найти модуль комплексного числа, можно воспользоваться формулой для нахождения модуля: \(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Модуль числа \(-0.5 + \sqrt{5}i\) будет равен \(\sqrt{(-0.5)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{0.25 + 5} = \sqrt{5.25}\).
Модуль числа \(\frac{1}{4} - i\) будет равен \(\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}\).
Теперь изобразим эти числа на комплексной плоскости.
4) Для выполнения арифметических действий с комплексными числами \(-7 + 2i\) и \(5 - 4i\) сложим их:
\(-7 + 2i + 5 - 4i = -2 - 2i\).
5) Давайте теперь решим выражение \((2 + 3i)^2 - ((2 - 3i)^2)\):
\((2 + 3i)^2 = (2^2 + 2*2*3i + (3i)^2) = (4 + 12i - 9) = -5 + 12i\).
\((2 - 3i)^2 = (2^2 - 2*2*3i + (3i)^2) = (4 - 12i - 9) = -5 - 12i\).
Теперь выполним вычитание: \((-5 + 12i) - (-5 - 12i) = -5 + 12i + 5 + 12i = 24i\).
Теперь решим выражение \((3 + 4i)^2 + (3 - 4i)^2\):
\((3 + 4i)^2 = (3^2 + 2*3*4i + (4i)^2) = (9 + 24i - 16) = -7 + 24i\).
\((3 - 4i)^2 = (3^2 - 2*3*4i + (4i)^2) = (9 - 24i - 16) = -7 - 24i\).
Сложим: \((-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -7 + 24i - 7 - 24i = -14\).
6) Разложим выражения на множители:
\(z^2 - 2z + 10 = (z - (1 + 3i))(z - (1 - 3i))\).
\(4z^2 + 8z + 5 = (2z + 1 + i)(2z + 1 - i)\).
7) Числа в тригонометрической форме представляются как \(re^{i\theta}\), где \(r\) - модуль числа, \(e\) - число Эйлера, \(\theta\) - аргумент числа.
-2i в тригонометрической форме: \(2e^{3\pi/2}\).
\(\sqrt{3} - i\) в тригонометрической форме: \(\sqrt{4}e^{-\pi/6}\).
\(-\sqrt{3}\) в тригонометрической форме: \(\sqrt{3}e^{5\pi/3}\).