1. Какие значения х и у являются решением системы уравнений: х-6у=20 и 4х+2у=2? 2. Какова скорость пешехода в гору

Letuchiy_Demon

34

Хорошо! Давайте решим поставленные задачи по порядку.

1. Для решения данной системы уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения. Давайте воспользуемся методом сложения.
Система уравнений:
\(\begin{align*}
x - 6y &= 20 \\
4x + 2y &= 2 \\
\end{align*}\)

Для начала, приведем уравнения к удобному виду, чтобы избавиться от коэффициентов при \(y\). Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3:
\(\begin{align*}
2(x - 6y) &= 2(20) \\
3(4x + 2y) &= 3(2) \\
\end{align*}\)

После упрощения получим:
\(\begin{align*}
2x - 12y &= 40 \\
12x + 6y &= 6 \\
\end{align*}\)

Теперь сложим данные уравнения методом сложения:
\(\begin{align*}
(2x - 12y) + (12x + 6y) &= 40 + 6 \\
14x - 6y &= 46 \\
\end{align*}\)

На данном шаге получилось одно уравнение с одной неизвестной. Теперь решим его:
\(14x - 6y = 46 \\
14x = 46 + 6y \\
x = \frac{46 + 6y}{14}\)

Подставим найденное значение \(x\) в любое из данных уравнений и решим его относительно \(y\). Возьмем первое уравнение:
\(x - 6y = 20 \\
\frac{46 + 6y}{14} - 6y = 20 \\
\frac{46 + 6y - 84y}{14} = 20 \\
46 - 78y = 20 \cdot 14 \\
-78y = 280 - 46 \\
-78y = 234 \\
y = \frac{234}{-78} \\
y = -3\)

Теперь, найдем значение \(x\) подставив найденное значение \(y\) в любое из данных уравнений. Возьмем первое уравнение:
\(x - 6(-3) = 20 \\
x + 18 = 20 \\
x = 20 - 18 \\
x = 2\)

Итак, решение системы уравнений: \(x = 2, y = -3\).

2. Чтобы решить данную задачу, нам необходимо определить скорость пешехода в гору (v1) и под гору (v2). Давайте решим задачу пошагово.
Обозначим скорость пешехода в гору как \(v_1\). Тогда скорость пешехода под гору составит \(v_1 + 2\) (так как она больше на 2 км/ч). Мы знаем, что дорога от поселка до станции составляет 19 км, а пешеход шел в гору 1 час, а под гору 2 часа.

Для того чтобы найти скорость, воспользуемся формулой \(v = \frac{S}{t}\), где \(v\) - скорость, \(S\) - расстояние, \(t\) - время.

Для движения пешехода в гору:
\(v_1 = \frac{19}{1} = 19\) км/ч.

Для движения пешехода под гору:
\(v_2 = \frac{19}{2} = 9.5\) км/ч.

Таким образом, скорость пешехода в гору составляет 19 км/ч, а скорость пешехода под гору составляет 9.5 км/ч.

3. Решим данную систему уравнений шаг за шагом.
Система уравнений:
\(\begin{align*}
3(5x + 3y) - 6 &= 2x + 11 \\
4x - 15 &= 11 - 2(4x - y) \\
\end{align*}\)

Для начала, выполним операции в скобках:
\(\begin{align*}
15x + 9y - 6 &= 2x + 11 \\
4x - 15 &= 11 - 8x + 2y \\
\end{align*}\)

Перенесем все члены с \(x\) и \(y\) на одну сторону уравнений, а все свободные члены на другую:
\(\begin{align*}
15x - 2x + 9y &= 11 + 6 \\
4x + 8x - 2y &= 11 - 15 \\
\end{align*}\)

Далее, выполним операции с одноименными членами и сгруппируем их:
\(\begin{align*}
13x + 9y &= 17 \\
12x - 2y &= -4 \\
\end{align*}\)

Итак, мы получили систему уравнений:
\(\begin{align*}
13x + 9y &= 17 \\
12x - 2y &= -4 \\
\end{align*}\)

Решим эту систему уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 12, а второе уравнение на 13:
\(\begin{align*}
156x + 108y &= 204 \\
156x - 26y &= -52 \\
\end{align*}\)

Теперь сложим данные уравнения:
\(\begin{align*}
(156x + 108y) + (156x - 26y) &= 204 + (-52) \\
2 \cdot 156x + 82y &= 152 \\
312x + 82y &= 152 \\
\end{align*}\)

Теперь решим полученное уравнение относительно \(x\):
\(312x = 152 - 82y \\
x = \frac{152 - 82y}{312}\)

Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение и решим его относительно \(y\):
\(13\left(\frac{152 - 82y}{312}\right) + 9y = 17 \\
\frac{13(152 - 82y) + 9y \cdot 312}{312} = 17 \\
\frac{1976 - 984y + 2808y}{312} = 17 \\
\frac{1824y + 1976}{312} = 17 \\
1824y + 1976 = 17 \cdot 312 \\
1824y = 5304 - 1976 \\
1824y = 3328 \\
y = \frac{3328}{1824} \\
y = \frac{208}{114} \\
y \approx 1.82\)

Теперь, найдем значение \(x\) подставив найденное значение \(y\) в любое из данных уравнений. Возьмем первое уравнение:
\(13x + 9(1.82) = 17 \\
13x + 16.38 = 17 \\
13x = 17 - 16.38 \\
13x = 0.62 \\
x = \frac{0.62}{13} \\
x \approx 0.05\)

Итак, решение данной системы уравнений: \(x \approx 0.05, y \approx 1.82\).

4. Чтобы найти значения \(k\) и \(b\), а также записать уравнение прямой \(y = kx + b\), проходящей через точки A(4;-6) и В(\_8;-12), воспользуемся формулой:
\(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), где \(k\) - наклон прямой, \(y_1\) - координата y первой точки, \(y_2\) - координата y второй точки, \(x_1\) - координата x первой точки, \(x_2\) - координата x второй точки.

Подставим значения из точек A(4;-6) и В(\_8;-12):
\(k = \frac{-12 - (-6)}{-8 - 4} \\
k = \frac{-12 + 6}{-8 - 4} \\
k = \frac{-6}{-12} \\
k = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем значение \(b\), зная координаты точки A(4;-6):
\(b = y - kx \\
b = -6 - \frac{1}{2} \cdot 4 \\
b = -6 - 2 \\
b = -8\)

Таким образом, значения \(k\) и \(b\) равны соответственно \(\frac{1}{2}\) и -8. Уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-6) и В(\_8;-12), записывается как \(y = \frac{1}{2}x - 8\).

5. Чтобы определить, имеет ли система уравнений \(3x + 5y = 2\) и \(6x + 10y = 4\) решение, мы должны проанализировать коэффициенты при \(x\) и \(y\) в обоих уравнениях.
Заметим, что уравнения имеют одно и то же отношение коэффициентов 3:5 и 6:10. Это означает, что данные уравнения являются пропорциональными.
Если мы умножим первое уравнение на 2, получим: \(6x + 10y = 4\).
Получается, что уравнения являются тождественными.

Таким образом, система уравнений имеет бесконечное множество решений.