1) Какие значения переменной x дают экстремумы функции f(x)=x^3-3x^2+32x+2? 2) На каких значениях x функция

Морской_Корабль

44

1) Чтобы найти значения переменной x, при которых функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2 достигает экстремумов, мы должны найти критические точки функции. Критическая точка - это точка, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[f"(x) = 3x^2 - 6x + 32 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или квадратное дополнение. В нашем случае, я воспользуюсь квадратным дополнением:

\[f"(x) = 3(x^2 - 2x) + 32 = 0\]
\[3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 32 = 0\]
\[3((x - 1)^2 - 1) + 32 = 0\]
\[3(x - 1)^2 - 3 + 32 = 0\]
\[3(x - 1)^2 + 29 = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, где \((x - 1)^2 = \frac{-29}{3}\). Но поскольку у нас нет действительных корней для отрицательного числа под знаком квадрата, мы можем сделать вывод, что у уравнения нет решений. Это означает, что функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2 не имеет экстремумов.

2) Чтобы найти значения x, при которых функция f(x) = x^2 * e^x достигает экстремумов, мы должны снова найти критические точки функции. Давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[f"(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x = 0\]

Мы видим, что производная функции включает экспоненциальную функцию \(e^x\). Чтобы решить это уравнение, можно сделать следующий шаг:

\[2x * e^x + x^2 * e^x = 0\]
\[x * e^x (2 + x) = 0\]

Мы получили уравнение, где произведение двух факторов равно нулю. Это означает, что функция равна нулю при \(x = 0\) или \(x = -2\).

Следовательно, функция f(x) = x^2 * e^x достигает экстремумов при x равном 0 и -2.