1. Какое двузначное число имеет цифру в десятках, на 3 больше цифры в единицах разряда? Сумма квадратов цифр числа

Весна

1

Конечно, я помогу вам с решением этих задач. Давайте начнем с первой задачи.

1. Двузначное число, имеющее цифру в десятках на 3 больше цифры в единицах разряда, можно представить в виде \(10a + b\), где \(a\) - цифра в десятках, а \(b\) - цифра в единицах разряда.

Задача говорит нам, что сумма квадратов цифр числа, плюс квадрат самого числа, равна 2733. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[a^2 + b^2 + (10a + b)^2 = 2733.\]

Давайте решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[a^2 + b^2 + 100a^2 + 20ab + b^2 = 2733.\]

Соберем слагаемые с \(a^2\) и \(b^2\):

\[101a^2 + 2b^2 + 20ab = 2733.\]

Теперь мы можем использовать приведенное квадратное уравнение.

Давайте перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[101a^2 + 2b^2 + 20ab - 2733 = 0.\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. К сожалению, при таких параметрах оно не имеет рациональных корней. Следовательно, нам нужно использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 101\), \(b = 20\), \(c = -2733\).

Вычислим дискриминант:

\[D = 20^2 - 4 \cdot 101 \cdot (-2733) = 356444.\]

Так как дискриминант положительный, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, мы получаем:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставив значения, имеем:

\[a = \frac{-20 \pm \sqrt{356444}}{2 \cdot 101}.\]

Выполняя вычисления, получаем два возможных значения для \(a\): \(a_1 \approx 19.26\) и \(a_2 \approx -19.61\).

Поскольку число является двузначным, мы можем считать, что \(a = a_1 \approx 19.26\). Теперь найдем \(b\), используя исходное уравнение \(10a + b = 10 \cdot 19.26 + b = 2733 - 19.26^2\).

Вычислив \(b\), мы получаем \(b \approx 92.34\). Отбросим дробную часть и округлим \(b\) вниз до ближайшего целого числа. Таким образом, \(b \approx 92\).

Итак, двузначное число равно \(10a + b = 10 \cdot 19 + 92 = 282\).

Поэтому ответ на первую задачу: Двузначное число равно 282.

Давайте перейдем ко второй задаче.

2. Дано, что разность сторон прямоугольника равна 7 дм, а диагональ равна 13 дм. Пусть сторонами прямоугольника являются \(x\) и \(y\), где \(x\) - большая сторона, а \(y\) - меньшая сторона.

Мы можем записать два уравнения на основе этих условий:

\[x - y = 7\] (разность сторон равна 7 дм),

и

\[x^2 + y^2 = 13^2\] (диагональ равна 13 дм).

Мы можем решить это систему уравнений, используя метод подстановки, или метод сложения и вычитания.

Для удобства, давайте решим первое уравнение относительно \(x\):

\[x = y + 7.\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[(y + 7)^2 + y^2 = 169.\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[y^2 + 14y + 49 + y^2 = 169.\]

Соберем слагаемые с \(y\):

\[2y^2 + 14y + 49 - 169 = 0.\]

Упростим это уравнение:

\[2y^2 + 14y - 120 = 0.\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Вынесем общий множитель:

\[2(y^2 + 7y - 60) = 0.\]

\[y^2 + 7y - 60 = 0.\]

Теперь мы можем найти корни этого уравнения, используя факторизацию или формулу дискриминанта.

Факторизуя, мы получаем:

\[(y - 5)(y + 12) = 0.\]

Отсюда следует, что \(y = 5\) или \(y = -12\). Отрицательное значение \(y\) не имеет физического смысла, так как сторона прямоугольника не может иметь отрицательную длину, поэтому выбираем \(y = 5\).

Теперь мы можем найти \(x\), используя первое уравнение:

\[x = y + 7 = 5 + 7 = 12.\]

Итак, стороны прямоугольника равны 12 и 5 (дм).

Ответ на вторую задачу: Стороны прямоугольника равны 12 и 5 (дм).

Перейдем к третьей задаче.

3. Дано, что площадь прямоугольника равна 204 квадратные единицы, и стороны пропорциональны числам 3 и 7. Пусть стороны прямоугольника равны \(3x\) и \(7x\), где \(x\) - некоторый множитель.

Мы можем записать уравнение для нахождения сторон прямоугольника:

\[(3x)(7x) = 204.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[21x^2 = 204.\]

Разделим обе стороны на 21, чтобы выразить \(x\):

\[x^2 = \frac{204}{21}.\]

Упростим правую часть:

\[x^2 \approx 9.71.\]

Теперь можем найти примерное значение \(x\) вычислив квадратный корень из левой и правой части уравнения:

\[x \approx \sqrt{9.71} \approx 3.12.\]

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив это значение в \(3x\) и \(7x\):

\(3x \approx 3 \cdot 3.12 \approx 9.36\), и \(7x \approx 7 \cdot 3.12 \approx 21.84\).

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны примерно 9.36 и 21.84.

Ответ на третью задачу: Длины сторон прямоугольника равны примерно 9.36 и 21.84.

Перейдем к четвертой задаче.

4. Дано уравнение \(5x^2 - 8x - 4 = 0\).

Мы можем найти корни этого квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта или метод разложения на множители.

Давайте сначала проверим возможность разложения на множители.

Коэффициент при \(x^2\) равен 5, коэффициент при \(x\) равен -8, а свободный член равен -4.

Давайте попробуем разложить -4 в произведение двух чисел, сумма которых равна -8. Если сможем это сделать, то уравнение можно будет разделить на эти множители.

Следовательно, ищем два числа \(a\) и \(b\), таких что

\[ab = -4\] и \[a + b = -8.\]

Несложным подбором мы находим, что \(a = 4\) и \(b = -1\) подходят для этих условий.

Теперь мы можем разделить исходное уравнение на эти множители:

\[(x + 4)(5x - 1) = 0.\]

Отсюда следует, что либо \(x + 4 = 0\) или \(5x - 1 = 0\).

Решим каждое уравнение отдельно:

1) \(x + 4 = 0\)

Вычитая 4 из обеих сторон, получаем

\[x = -4.\]

2) \(5x - 1 = 0\)

Добавляя 1 к обеим сторонам, получаем

\[5x = 1.\]

Деля обе стороны на 5, получаем

\[x = \frac{1}{5}.\]

Ответ на четвертую задачу: Корни уравнения \(5x^2 - 8x - 4 = 0\) равны \(x = -4\) и \(x = \frac{1}{5}\).

Вот решение всех четырех задач. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!